Метод статистических испытаний. Метод Монте-Карло

Возникновение метода относится к 1949 г. и связано с именами американских ученых Д. Неймана и С. Улама.

Метод основан на использовании связи между вероятностными характеристиками различных случайных процессов и величинами, являющимися решениями задач математического анализа. Сказанное можно проиллюстрировать следующим образом.

Известно, что изучение случайного процесса считается исчерпывающим, если определение характеристик этого процесса сведено к решению аналитической задачи. Существенным для понимания метода Монте-Карло является то, что эту классическую ситуацию можно обратить. А именно, вместо решения аналитической задачи можно моделировать случайный процесс и использовать статистические оценки (вероятности, математические ожидания) для приближенного решения данной аналитической задачи.
Оказывается, что очень часто вместо вычисления ряда сложных аналитических выражений можно экспериментально определить соответствующие статистические оценки. В качестве примера реальной вычислительной задачи, рассмотрим задачу вычисления интеграла

Будем считать, что  и . Ограничение на функцию , изображенную на рис. 1, несущественно, так как можно использовать масштабирование. Необходимо найти площадь области , ограниченной кривой  осью  и ординатами  .

Пусть в квадрат  случайно вбрасывается точка, координаты которой независимо и равномерно распределены в интервале . Какова вероятность того, что точка попадает в область под кривой? Очевидно, что вероятность  этого события численно равна площади . Для первой точки  генерируем пару величин (координат)  и проверяем условие
                                                                  (1)
Если условие (1) выполняется, то выбранная случайная точка  с координатами  попала в область под кривой. Далее берется еще  пара случайных величин ,   и для всех этих пар проверяется условие (1). Затем число пар , для которых выполнилось условие (1), делится на число всех взятых пар . Если число  достаточно велико, то в силу закона больших чисел получаем величину  близкую к вероятности  попадания точки  в область . Величина  является, следовательно, приближенным значением искомого интеграла.

Метод Монте-Карло обладает следующими особенностями:

1. является приближенным, точность повышается с увеличением числа реализаций;
2. обладает малой связностью, что сокращает объем данных для хранения в памяти, особенно для многомерных задач;
3. устойчив по отношению к случайным сбоям, так как одиночная ошибка мало сказывается на окончательном результате;
4. результаты, получаемые этим методом, также как и оценки их точности носят вероятностный характер;
5. не существует общей теории перехода от конкретной задачи к вероятностной схеме, позволяющей применить метод.

Метод Монте-Карло положен в основу статистического моделирования. При статистическом моделировании для получения достоверных вероятностных характеристик процессов функционирования системы требуется их многократное воспроизведение с различными конкретными значениями случайных факторов и статистической обработкой результатов измерений. При этом возникает необходимость в определении случайных событий, величин и последовательностей по заданным статистическим характеристикам. В основе их определения лежит использование последовательности чисел, равномерно распределенных в интервале . Программы, формирующие такие последовательности, называют датчиками или генераторами случайных чисел.

См. также:

• Датчики равномерно распределенных случайных чисел
• Моделирование случайных событий и дискретных величин
• Моделирование случайных непрерывных величин.