Умножение вектора на число

Произведением ненулевого вектора на действительное число называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1) длина вектора равна , т.е. ;

2) векторы и коллинеарные ;

3) векторы и одинаково направлены, если , и противоположно направлены, если .

Произведение нулевого вектора на любое число считается (по определению) нулевым вектором: ; произведение любого вектора на число нуль также считается нулевым вектором: . Из определения произведения следует, что:

а) при умножении на единицу вектор не изменяется: ;

б) при умножении вектора на получается противоположный вектор: ;

в) деление вектора на отличное от нуля число сводится к его умножению на число , обратное .

г) при делении ненулевого вектора на его длину, т.е. при умножении на число получаем единичный вектор, одинаково направленный с вектором .

Действительно, длина вектора равна единице: .

Вектор коллинеарен и одинаково направлен с вектором , так как ;

д) при умножении единичного вектора на число получаем коллинеарный ему вектор, длина которого равна .

На рис.1.10 изображены векторы, получающиеся в результате умножения данного вектора на и , а также противоположный вектор .

8.В линейной алгебре линейная зависимость — это свойство, которое может иметь подмножество линейного пространства. Для этого должна существовать нетривиальная линейная комбинация элементов этого множества, равная нулевому элементу. Если такой комбинации нет, то есть коэффициенты единственной такой линейной комбинации равны нулю, множество называетсялинейно независимым.