Задача 9.

Найти .

Преобразуем данное выражение = =

= = (воспользуемся теоремой о пределе произведения, а также формулой )=

= . Ответ: .

Задача 10. Найти предел

Решение.

Здесь неопределенность вида Поскольку в числителе дроби, стоящей под знаком предела, имеем то, сведем этот предел к первому замечательному пределу. Для этого сделаем замену переменной тогда и при . В результате получим:

Заметим, что мы воспользовались тем, что функция имеет период p, поэтому . Кроме того, из свойств тригонометрических функций известно, что . Поэтому .

Ответ: 2.

Задача 11. Найти .

Сделаем замену переменной t=x-p. Тогда t®0 при x®0. Следовательно: x=t+p, sin5x=sin(5t+5p)=-sin5t, sin6x=sin(6t+6p)=sin6t. Получаем = .

Ответ: .

Решение следующей задачи требует знания второго замечательного предела: . Укажем еще на один факт, который следует из второго замечательного предела и бывает полезен при решении подобных задач: .

Чтобы получить такой вывод, сделаем замену переменных x=kt. Тогда t®¥ при t®¥. Получаем:

Например .

Задача 12. Найти предел:

Решение.

Здесь неопределенность вида . Сведем этот предел ко второму замечательному пределу. В основании степени, стоящей под знаком предела, выделим единицу (разделив с остатком числитель на знаменатель):

Далее преобразуем выражение под знаком предела, выделив второй замечательный предел:

= .

В конце решения примера сделан переход к пределу под знаком показательной функции.

Ответ:

Рассмотрим другой возможный способ решения таких задач.

Задача 13. Найти .

Преобразуем это выражение следующим образом

Тогда = =

Ответ: .

В следующей задаче использована замена функций на эквивалентные.

Задача 14. Найти .

Воспользуемся эквивалентными функциями при .

Так как : , а sinx~x, то ~2 ~ .

Аналогично ~ , sin5x~5x. Получаем

= .

Ответ: .

Задача 15. Найти предел

Решение.

Так как

при

то

Ответ:

Задача 16. Найти предел

Здесь неопределенность вида Для его нахождения выделим в основании степени, стоящей под знаком предела, единицу. Для этого используем тригонометрическую формулу: Тогда

Далее сведем предел ко второму замечательному пределу:

Используем тот факт, что и применим теорему о замене функций эквивалентными функциями. Так как

то

Ответ:

Второй способ решения таких задач использует равенство

, если конечно указанный предел существует.

Задача 17. Найти .

Имеем = .

Для вычисления предела, стоящего в степени воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми. При x®0 имеем

ln(1+tg2x) ~tg2x~2x; ctg3x= ; tg3x~3x. Тогда

Ответ: .

В следующей задаче использовано такая замена переменной, которая преобразует выражения в многочлены.

Задача 18.

Найти предел

Решение.

Здесь неопределенность вида . Для нахождения предела сделаем замену где показатель степени переменной будем определять как наименьшее общее кратное порядков корней, входящих в выражение под знаком предела.