Указания к выполнению расчетно-графической работы по дисциплине
«Основы финансовых вычислений» для студентов заочной формы обучения
направления обучения
«Экономика»
Составители:
Доц. З.А.Еникеева, доц. Д.В.Шевченко
Казань – 2012г.
Рекомендации к выполнению работы
На первом листе кроме данных о студенте (Ф.И.О., группа, курс, № зач. книжки или студ. билета) обязательно указывается номер варианта! Номер варианта выбирается по двум последним цифрам номера зачетной книжки. Варианты заданий формируются по двум последним цифрам зачетной книжки. В заданиях участвуют индивидуальные для студента параметры и , где − последняя цифра номера зачётной книжки, − предпоследняя цифра. Работы с другим номером варианта не зачитываются.
Расчетная работа состоит из 2 комплексных заданий. Условие задач следует переписывать только для своего варианта. При проведении расчетов следует придерживаться правила: формула в общем виде, числовая подстановка каждого символа, ответ. То есть промежуточных выкладок и сокращений приводить не следует. Окончательные результаты должны обязательно быть приведены в рубли. Все вычислительные процедуры следует производить с точностью двух цифр после запятой.
Расчетно-графическая работа должна состоять из титульного листа, содержания, введения (включающего основные необходимые формулы), основной расчетной части (содержащей расчеты для обеих задач), заключения (содержащего общие выводы) и списка использованной литературы. Допускается включение в работу приложений, содержащих чертежи, таблицы и рисунки. Для каждой задачи в основной части необходимо привести конкретную (определенную номером варианта) формулировку, решение, провести анализ и сделать четкие выводы, согласующиеся с экономическим смыслом задания.
Расчетно-графическая работа выполняется на листах формата A4 аккуратным почерком или на компьютере. Пример оформления титульного листа курсового проекта приведен ниже. Титульный лист, графики и таблицы обязательно оформляются на компьютере. Приветствуется выполнение расчетов с использованием MS Excel.
Выполненную и оформленную расчетно-графическую работу необходимо представить на кафедру высшей математики не позднее, чем за 15 календарных дней до начала сессии. На экзамене по дисциплине «Основы финансовых вычислений» один из вопросов обязательно касается проведенных в работе расчетов.
При отсутствии выполненной контрольной работы и при выполненной работе с неправильным номером варианта студент до экзамена не допускается. При невозможности объяснить решение более чем одного из заданий студент также не допускается до экзамена. Если студент не может объяснить одно из заданий, он получает на экзамене дополнительные упрошенные задачи на соответствующие разделы курса.
ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА (г. КАЗАНЬ)
Кафедра высшей математики
РАСЧЕТНО ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА
ПО ОСНОВАМ ФИНАНСОВЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Вариант ___
Выполнил:
студент группы №_____
экономического факультета
Фамилия Имя Отчество
зачетная книжка № ______________
контактный телефон: _______________
Руководитель:
проф. (доц.; ст. преп.; асс.) Фамилия И.О.
Казань – 2012 г.
ЗАДАЧА 1
Имеется денежных единиц в рублях и денежных единиц в некоторой валюте, где − последняя цифра зачётной книжки, − предпоследняя цифра. Рассматриваются три варианта:
I. Денежные средства в рублях размещаются в виде рублевого депозита, на который начисляются простые проценты по ставке .
II. Денежные средства в рублях размещаются в виде рублевого депозита, на который ежемесячно начисляются сложные проценты по номинальной ставке .
III. Валютные средства размещаются в виде валютного депозита, на который ежеквартально начисляются сложные проценты по номинальной ставке .
Возможно конвертировать рубли в валюту, а валюту в рубли. − курс обмена в начале операции (курс валюты в рублях). − предполагаемый курс обмена в конце операции. (1 января) − дата открытия депозита, (10 июня) − дата закрытия депозита (год не високосный).
Выполните следующие расчёты, рассматривая варианты с конвертацией и без конвертации. Конечные результаты запишите в рублях.
1. Определите начисляемые проценты и наращенные суммы. При вычислении простых процентов используйте британский, французский, германский методы. При вычислении сложных ежемесячных процентов используйте смешанный метод и формулу с дробным числом периодов начислений. При вычислении сложных ежеквартальных процентов используйте метод, при котором проценты на последний период не начисляются, если он меньше целого периода начисления.
2. Для всех полученных наращенных сумм вычислите простые учётные ставки.
3. Вычислите суммы, получаемые за время дней до срока погашения , совмещая начисление процентов по ставке наращения и дисконтирования по учётной ставке.
4. Оцените реальные суммы наращения при неизменном темпе инфляции .
5. Результаты, полученные в пунктах 1-4, занесите в таблицу:
Процентные ставки
Метод вычислений
Проценты
Наращенные суммы
Учётные ставки
Досрочные суммы
Реальные суммы
Сумма в руб.
британский
французский
германский
смешанный
дробный
(с конверт.)
без % за посл. период
Сумма в вал.
(с конверт.)
британский
французский
германский
(с конверт.)
смешанный
дробный
без % за посл. период
Определите, какой вариант, с конвертацией или без конвертации, наиболее выгоден.
7. Вычислите простую ставку, эквивалентную ставке и сложную ставку (проценты начисляются 12 раз в год) эквивалентную ставке .
8. Определите сложную процентную ставку с начислением 2 раза в год эквивалентную ставке .
9. Используя математический учёт (дисконтирование), определите первоначальную сумму для ставок , , , если в конечном результате необходимо получить сумму рублей.
10. Для первоначальной суммы а и конечной суммы c определите срок депозита для всех ставок , , .
Образец решения при и .
1. Рассмотрим три варианта размещения средств на рублёвый депозит.
I. Вычислим наращенные суммы и начисляемые простые проценты на сумму рублей тремя методами.
Подсчитаем точное число дней длительности депозита: 31 день января, 28 дней февраля, 31 день марта, 30 дней апреля, 31 день мая, 10 дней июня, всего получаем 160 дней, учитывая, что день открытия и закрытия депозита считается за один день. Подсчитаем приближённое число дней длительности депозита: 30 дней пяти месяцев, 10 дней июня, всего получаем 159 дней, учитывая, что день открытия и закрытия депозита считается за один день.
Британский метод:
,
.
Французский метод:
,
.
Германский метод:
,
.
II. Вычислим наращенные суммы и начисляемые сложные проценты на сумму рублей смешанным методом и методом с дробным числом периодов.
Смешанный метод. Обозначим через целое число периодов начисления, а через оставшуюся дробную часть. Тогда это количество полных месяцев, а - это оставшиеся 10 дней июня: , - количество месяцев в году Таким образом, получаем
,
.
Метод с дробным числом периодов начисления. Обозначим через длительность депозита в днях, через длительность месяца. Возьмём . Тогда
,
.
III. Конвертируем сумму рублей в данную валюту: денежных единиц. Вычислим наращенную сумму и проценты, начисляемые ежеквартально без начисления процентов на период меньше квартала.
,
где - количество полных кварталов, в данном случае , - количество месяцев в одном квартале.
Конвертируем полученную величину в рубли:
,
.
Далее рассмотрим вторую сумму денежных единиц. Конвертируем её в рубли:
.
Для полученной суммы произведём вычисления аналогичные вычислениям для первой суммы.
Британский метод:
,
.
Французский метод:
,
.
Германский метод:
,
.
Смешанный метод:
,
.
Метод с дробным числом периодов начисления:
,
.
Произведём расчёты без конвертации с размещением на валютном депозите.
и сложную ставку (проценты начисляются 12 раз в год) эквивалентную ставке :
.
8. Определим сложную процентную ставку с начислением 2 раза в год эквивалентную ставке .
.
9. Первоначальную сумму в случае начисления простых процентов в течение года определим следующим образом:
.
Вычислим первоначальную сумму при ежемесячном начислении в течение года сложных процентов с годовой ставкой .
.
Для использования валютного депозита учтём двойную конвертацию. Напомним, что при ежеквартальном начислении .
.
10. Вычислим сроки депозитов для ставок , , :
лет,
года года 321 день,
года=2 года 272 дня.
ЗАДАЧА 2
Кредит на сумму 10 млн. руб. может быть получен сроком на 1 год с ежемесячными выплатами и начислением простого процента по ставке годовых на остаток долга. Существует альтернативный вариант получения кредита на ту же сумму и срок с ежемесячным начислением под годовых, но погашение осуществляется аннуитетными платежами. Кроме того, через 6 месяцев появляется возможность взять кредит под годовых, при этом досрочное погашение любого из ранее взятых кредитов требует штрафной выплаты в размере 15 тыс.руб. (а − последняя цифра зачётной книжки, b − предпоследняя цифра).
Составьте шесть планов погашения кредита:
1) кредит выдаётся на год по ставке с постоянной ежемесячной выплатой части основного долга и начислением процентов на остаток долга;
2) кредит выдаётся на год по ставке с ежемесячным начислением, погашение осуществляется аннуитетными платежами;
3) кредит выдаётся на год по ставке с постоянной ежемесячной выплатой части основного долга и начислением процентов на остаток долга, через 6 месяцев кредит погашается при помощи нового кредита, взятого под годовых на 6 месяцев, погашение которого осуществляется аннуитетными платежами;
4) кредит выдаётся на год по ставке с ежемесячным начислением, погашение осуществляется аннуитетными платежами, через 6 месяцев кредит погашается при помощи нового кредита, взятого под годовых на 6 месяцев, погашение осуществляется аннуитетными платежами;
5) кредит выдаётся на год с ежемесячным начислением , погашение осуществляется аннуитетными платежами, процентные выплаты уменьшаются вместе с убыванием основного долга, через 6 месяцев кредит погашается при помощи нового кредита, взятого под годовых на 6 месяцев с постоянной ежемесячной выплатой части основного долга и начислением процентов на остаток долга.
Проанализируйте варианты амортизации кредита с позиций заемщика. Сравнение проведите по простой сумме выплат без учета дисконтирования.
Образец решения при , , .
Кредитный план №1.
Первая схема амортизации кредита предполагает ежемесячную выплату равных частей основного долга:
,
где – первоначальная сумма кредита, – количество выплат с одновременным начислением процентов, в данном случае количество месяцев в году.
Остаток долга определим следующим образом:
,
где – номер очередного месяца выплаты.
Процентные платежи рассчитываются исходя из остатка долга на конец каждого месяца по формуле
,
где – годовая процентная ставка.
Таким образом, ежемесячные выплаты по кредиту составят
.
Составим план погашения кредита.
месяцы, t
основной долг, R
остаток долга, S(t)
проценты, I(t)
выплаты по кредиту, М(t)
833333,33
983333,33
833333,33
9166666,67
970833,33
833333,33
8333333,33
958333,33
833333,33
945833,33
833333,33
6666666,67
933333,33
833333,33
5833333,33
920833,33
833333,33
908333,33
833333,33
4166666,67
895833,33
833333,33
3333333,33
883333,33
833333,33
870833,33
833333,33
1666666,67
858333,33
833333,33
833333,33
845833,33
Итого
Итак, общая сумма всех выплат по кредиту составит 10 975 000 рублей.
Кредитный план №2.
Для того чтобы процентные выплаты уменьшались вместе с убыванием основного долга, для аннуитетной схемы амортизации кредита можно применить подход, аналогичный первой схеме погашения кредита. То есть выплаты будут определяться следующим образом:
1) аннуитет ;
2) остаток основного долга , где – выплаты в счёт основного долга, , ;
3) процентный платёж ;
4) выплаты основного долга .
Можно воспользоваться также следующими формулами:
,
соответственно, процентные платежи равны
.
Месяцы,
t
Аннуитет,
А
Остаток долга,
S(t)
Проценты,
I(t)
Основной долг,
R(t)
912047,52
141666,67
770380,85
912047,52
9229619,17
130752,94
781294,59
912047,52
8448324,56
119684,60
792362,92
912047,52
7655961,64
108459,46
803588,06
912047,52
6852373,58
97075,29
814972,23
912047,52
6037401,35
85529,85
826517,67
912047,52
5210883,68
73820,85
838226,67
912047,52
4372657,01
61945,97
850101,55
912047,52
3522555,46
49902,87
862144,66
912047,52
2660410,81
37689,15
874358,37
912047,52
1786052,44
25302,41
886745,11
912047,52
899307,33
12740,19
899307,33
Итого
10944570,24
944570,24
Итак, общая сумма всех выплат по кредиту составит 10 944 570 рублей.
Несмотря на то, что при одинаковой процентной ставке и прочих равных условиях, общая сумма выплат по кредиту представленных аннуитетом всегда выше общей суммы выплат, начисленных на остаток долга, в данном случае во втором варианте плана погашения кредита итоговая сумма получилась немного меньше итоговой суммы первого плана, так как понизилась процентная ставка.
Также следует отметить, что рассмотренная схема амортизации кредита предполагает уменьшение размера процентных выплат с течением времени, при увеличении выплат по основному долгу.
Кредитный план №3.
Воспользуемся кредитным планом №1 для первых шести месяцев погашения кредита:
Месяцы, t
Основной долг, R
Остаток долга, S(t)
Проценты,
I(t)
Выплаты по кредиту,
M(t)
833333,33
983333,33
833333,33
9166666,67
970833,33
833333,33
8333333,33
958333,33
833333,33
7500000,00
945833,33
833333,33
6666666,67
933333,33
833333,33
5833333,33
920833,33
Итого
После шести месяцев погашения остаток долга составит:
.
Вычислим величину аннуитета для кредита на сумму , взятого на 6 месяцев под 16 процентов годовых
.
Составим новый кредитный план на оставшиеся 6 месяцев, аналогичный кредитному плану №2:
Месяцы,
t
Аннуитет,
A
Основной долг,
R(t)
Проценты,
I(t)
872651,42
805984,75
66666,67
872651,42
816731,22
55920,20
872651,42
827620,96
45030,45
872651,42
838655,91
33995,51
872651,42
849837,99
22813,43
872651,42
861169,16
11482,26
Итого
5235908,52
235908,52
.
Таким образом, общая сумма всех выплат по кредиту составит 10 948 409 рублей.
Кредитный план №4.
Воспользуемся кредитным планом №2 для первых шести месяцев погашения кредита:
Месяцы,
t
Аннуитет,
А
Остаток долга,
S(t)
Проценты,
I(t)
Основной долг,
R(t)
912047,52
141666,67
770380,85
912047,52
9229619,17
130752,94
781294,59
912047,52
8448324,56
119684,60
792362,92
912047,52
7655961,64
108459,46
803588,06
912047,52
6852373,58
97075,29
814972,23
912047,52
6037401,35
85529,85
826517,67
Итого
5472285.12
683168.81
4789116.32
После шести месяцев погашения остаток долга составит:
.
Вычислим величину аннуитета для кредита на сумму , взятого на 6 месяцев под 16 процентов годовых
.
Составим новый кредитный план на оставшиеся 6 месяцев, аналогичный кредитному плану №2:
Месяцы,
t
Аннуитет,
А1
Основной долг, R(t)
Проценты,
I(t)
909457,01
839978.56
69478.45
909457,01
851178.27
58278.73
909457,01
862527.32
46929.69
909457,01
874027.68
35429.33
909457,01
885681.38
23775.62
909457,01
897490.47
1 966.54
Итого
5456742,05
4789116,321
225958,6644
Таким образом, общая сумма всех выплат по кредиту составит 10 939 027 рублей.
Кредитный план №5.
Воспользуемся кредитным планом №2 для первых шести месяцев погашения кредита:
Месяцы,
t
Аннуитет,
А
Остаток долга,
S(t)
Проценты,
I(t)
Основной долг,
R(t)
912047,52
141666,67
770380,85
912047,52
9229619,17
130752,94
781294,59
912047,52
8448324,56
119684,60
792362,92
912047,52
7655961,64
108459,46
803588,06
912047,52
6852373,58
97075,29
814972,23
912047,52
6037401,35
85529,85
826517,67
Итого
5472285.12
683168.81
4789116.32
После шести месяцев погашения остаток долга составит:
.
Составим новый кредитный план на оставшиеся 6 месяцев, аналогичный кредитному плану №1.
,
,
,
, ,
,
и т.д.
Месяцы, t
Основной долг,
R2
Остаток долга,
S(t)
Проценты,
I(t)
Выплаты по кредиту, M(t)
868480,61
5210883,68
69478,45
937959,06
868480,61
4342403,07
57898,71
926379,32
868480,61
3473922,46
46318,97
914799,58
868480,61
2605441,85
34739,22
903219,83
868480,61
1736961,24
23159,48
891640,09
868480,61
868480,63
11579,74
880060,35
Итого
5210883,66
243174,57
5454058,23
Таким образом, общая сумма всех выплат по кредиту составит 10 926 343 рубля.
Составим итоговую сравнительную таблицу выплат по всем планам:
месяцы, t
План 1, M
План 2, M
План 3, M
План 4, M
План 5, M
983333,33
912047,52
983333,33
912047,52
912047,52
970833,33
912047,52
970833,33
912047,52
912047,52
958333,33
912047,52
958333,33
912047,52
912047,52
945833,33
912047,52
945833,33
912047,52
912047,52
933333,33
912047,52
933333,33
912047,52
912047,52
920833,33
912047,52
920833,33
912047,52
912047,52
908333,33
912047,52
872651,42
909457,01
937959,06
895833,33
912047,52
872651,42
909457,01
926379,32
883333,33
912047,52
872651,42
909457,01
914799,58
870833,33
912047,52
872651,42
909457,01
903219,83
858333,33
912047,52
872651,42
909457,01
891640,09
845833,33
912047,52
872651,42
909457,01
880060,35
Итого
10 975 000
10 944 570
10 948 409
10 939 027
10 926 343
Штраф
15 000
15 000
15 000
Общие выплаты
10 975 000
10 944 570
10 963 409
10 954 027
10 941 343
Итак, с точки зрения заёмщика наиболее выгодным является кредитный план №5 , так как из пяти рассмотренных планов он самый дешёвый.
Заёмщику также надо обратить внимание, на то, что при погашении основного долга постоянными платежами (планы №1,3) первые выплаты достаточно большие, что налагает дополнительные требования на платежеспособность заёмщика.
Сравнивая план 4 с планом 2 следует сделать вывод, что перекредитование на таких условиях не выгодно из-за штрафной выплаты.
Несмотря на штрафной платеж, при рассматриваемых условиях перекредитование по плану 3 выгоднее сохранения выплат по плану 1 и перекредитование по плану 5 выгоднее сохранения выплат по плану 2.
Заметим, что данные выводы сделаны путем формального суммирования выплат, проведенных в разное время. Дисконтирование выплат на один момент времени может изменить ситуацию.
Литература
1. Лукасевич, И.А. Анализ финансовых операций. Методы, модели, техника вычислений.: Учеб. пособ. - М.: ЮНИТИ, 1998. - 400 с.
2. Мелкумов Я. С. Теоретическое и практическое пособие по финансовым вычислениям. – М.: ИНФРА-М, 2008. – 336 с. (и более ранние издания)
3. Симчера, В.М. Финансовые и актуарные вычисления : Учеб.-практич. пособ. / В.М. Симчера. - 2-е изд.. - М. : Изд.- торг. корпор. "Дашков и К", 2005. - 556 с.
и 
, где 
РАСЧЕТНО ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА
денежных единиц в рублях и 
денежных единиц в некоторой валюте, где 
.
.
.
− курс обмена в начале операции (курс валюты в рублях). 
− предполагаемый курс обмена в конце операции. 
(1 января) − дата открытия депозита, 
(10 июня) − дата закрытия депозита (год не високосный).
дней до срока погашения 
, совмещая начисление процентов по ставке наращения и дисконтирования по учётной ставке.
.
(с конверт.)
(с конверт.)
рублей.
и 
.
рублей тремя методами.
,
.
,
.
,
.
рублей смешанным методом и методом с дробным числом периодов.
целое число периодов начисления, а через 
оставшуюся дробную часть. Тогда 
это количество полных месяцев, а 
, 
- количество месяцев в году Таким образом, получаем
,
.
длительность депозита в днях, через 
длительность месяца. Возьмём 
. Тогда
,
.
денежных единиц. Вычислим наращенную сумму и проценты, начисляемые ежеквартально без начисления процентов на период меньше квартала.
,
, 
- количество месяцев в одном квартале.
,
.
денежных единиц. Конвертируем её в рубли:
.
,
.
,
.
,
.
,
.
,
.
.
,
.
(базовый период), 
(длительность депозита). Простые учётные ставки будем вычислять по формуле:
, 
.
, будем вычислять по формуле:
, 
.
,
и 
.
.
.
.
.
.
.
.
лет,
года 
года 321 день,
года=2 года 272 дня.
годовых на остаток долга. Существует альтернативный вариант получения кредита на ту же сумму и срок с ежемесячным начислением под 
годовых, но погашение осуществляется аннуитетными платежами. Кроме того, через 6 месяцев появляется возможность взять кредит под 
годовых, при этом досрочное погашение любого из ранее взятых кредитов требует штрафной выплаты в размере 15 тыс.руб. (а − последняя цифра зачётной книжки, b − предпоследняя цифра).
, 
, 
.
,
– первоначальная сумма кредита, 
,
,
– годовая процентная ставка.
.
;
, где 
– выплаты в счёт основного долга, 
, 
;
;
.
,
.
.
, взятого на 6 месяцев под 16 процентов годовых
.
.
.
, взятого на 6 месяцев под 16 процентов годовых
.
.
,
,
,
, 
,
,