Москва 2005

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Московский государственный университет

Приборостроения и информатики

Кафедра высшей математики

Вычисление пределов (решение задач)

Учебное пособие для студентов всех форм обучения для самостоятельной подготовки к выполнению контрольных работ.

Москва 2005

Вычисление пределов (решение задач)

Составитель: к.ф.м.н., доцент Выборнов А.Н..

В этом пособии рассматриваются «элементарные» методы вычисления пределов без использования производной (правила Лопиталя, формулы Тейлора). Пособие составлено на основе пособия МГАПИ (авторы: Архипов Н.В., Головешкин В.А., Егиазаров Ю.И., Зюзько Т.Н.) для заочного отделения. Составителем переработано изложение теоретических положений и методов решения задач. Пособие может использоваться как дополнительное пособие по развитию навыков решения задач.

Сформулируем основные свойства пределов:

1. Предел постоянной равен самой постоянной.

2. Предел суммы конечного числа слагаемых равен сумме их пределов:

3. Предел произведения конечного числа множителей равен произведению их пределов:

В частности полезно запомнить, что , то есть постоянный множитель можно выносить за знак предела.

4. Предел частного равен частному пределов числителя и знаменателя, если предел знаменателя отличен от нуля:

Если функция определена и непрерывна в точке то предел функции в точке равен значению функции в этой точке, например

.

Отметим, что все элементарные функции непрерывны в тех точках, где они определены. Поэтому для всех элементарных функций , если f(x) определена в точке x=a.

Отметим два важных факта, которые мы будем использовать при вычислении пределов.

Если ограниченная в окрестности точки x=a функция, а - бесконечно малая функция , то есть , то .

Если ограниченная в окрестности точки x=a функция, а - бесконечно большая функция, то есть , то .

Наибольшие трудности вызывает вычисление пределов функций в точках разрыва или на концах области определения. Если число не принадлежит области определения или или , то для нахождения предела необходимо специальное исследование. В этих случаях возможны следующие неопределенные ситуации, которые будем называть неопределенностями: (в случае вычисления предела частного),

Приведем ряд фактов, которые используются для раскрытия неопределенностей.

1. Первый замечательный предел:

Здесь имеет место неопределенность . Заметим, что на месте переменной под знаком предела может стоять любая функция при условии, что она является бесконечно малой при . То есть, верна более общая формула:

2. Второй замечательный предел:

или

аналогично верны обобщенные формулы:

если

если

Существенно упрощает вычисление пределов использование эквивалентных функций.

Напомним, что функции и называются эквивалентными, если . Эквивалентность функций обозначается символом ~ .

Приведем некоторые часто используемые, эквивалентные в окрестности точки x=0 , функции.

Поскольку:

Þ tg(x) ~x;

Þ arcsin(x) ~x;

Þ arctg(x) ~x;

Þ ~x;

Þ ~x.

Для эквивалентных функций верна следующая теорема о замене функций эквивалентными функциями:

1) предел отношения бесконечно малых функций равен пределу отношения эквивалентных им функций,

2) предел произведения бесконечно малых функций равен пределу произведения эквивалентных им функций

Например,

Примеры

Задача 1.Найти предел .

Преобразуем это выражение. В каждом из многочленов вынесем множитель х в старшей степени за скобки. Получим:

= =

= = = = .

Ответ: .

В процессе вычисления предела мы воспользовались теоремами о пределе суммы, произведения, частного, а так же теоремой о делении ограниченной функции на бесконечно большую.

К примеру .

Задача 2. Найти предел

Решение.

Здесь возникает неопределенность вида . Для нахождения этого предела вынесем из-под знаков радикалов и за скобки наивысшие степени , в результате получим:

Ответ:

В следующей задаче применяется умножение и деление на сопряженное выражение. Суть этого приема заключена следующих формулах:

;

.

Задача 3. Найти предел .

Данный предел является пределом вида ¥-¥. Умножим и разделим выражение под знаком предела на выражение сопряженное этой сумме . Получим

= =

= =(далее ход решения аналогичен тому, который был использован в предыдущей задаче)= = =(заметим, что при х<0 имеем )= = = .

Ответ:-2.

Задача 4. Найти предел

Решение.

Здесь неопределенность вида . Под знаком предела стоит разность корней второй степени. Для нахождения этого предела умножим и разделим эту разность на выражение, сопряженное этой разности. В результате получим:

Ответ:

В следующей задаче возникает неопределенность вида . Числитель и знаменатель выражения являются многочленами, которые в точке равны нулю.

Известно, что если многочлен степени n равен нулю при , то его можно представить в виде , где является многочленом степени n-1 (теорема Безу).

Задача 5.Найти предел

Решение.

Имеем неопределенность вида Под знаком предела стоит отношение многочленов. Для нахождения этого предела разложим числитель и знаменатель дроби на множители, выделив множители вида с максимально возможным показателем степени. Для этого поделим числитель и знаменатель на двучлен “столбиком”.

Подставляя найденные разложения многочленов под знак предела, получим:

Ответ:

Задача 6. Найти .

Значение x=-1 является корнем каждого из многочленов, стоящего в числителе и знаменателе дроби. Аналогичным образом разложив на множители, получаем:

= = =6.

Ответ: 6.

Замечание.

Последние две задачи быстрее решаются применением правила Лопиталя.

В следующей задаче неопределенность вида . Числитель и знаменатель выражения содержат радикалы. Такие задачи можно решать, используя умножение и деление на сопряженное выражение.

Задача 7. .

Здесь неопределенность вида . Для нахождения предела преобразуем выражение под знаком предела к виду, в котором и в числителе и в знаменателе дроби будут множители вида , a>0.

Для этого числитель и знаменатель выражения умножим на сопряженное к разности в числителе, то есть на множитель ( ). Знаменатель разложим на множители. Получим:

= = = = .

Ответ: .

Задача 8. Найти предел

Решение.

Здесь неопределенность вида . Для нахождения предела преобразуем выражение под знаком предела к виду, в котором и в числителе и в знаменателе дроби будут множители вида . Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражения, сопряженные числителю и знаменателю.

В результате получим:

Ответ:

Решение следующей задачи связано с использованием первого замечательного предела . При решении подобных задач полезно использовать два соотношения.

Первое. . Для его вывода сделаем замену переменных . Тогда , .Тогда получаем

.

Второе. . Это соотношение получается следующим путем .