Указание 2.

Постановка задачи. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

(1)

План решения. По теореме (1)

y_о.н.= y_о.о+ y_{ч.н.. ( )}

1. Найдем общее решение (y_о.о)соответствующего однородного уравнения

(2)

решив характеристическое уравнение

(3)

(см. предыдущую задачу).

2. Ищем какое – либо частное решение (y_ч.н.) неоднородного уравнения (1), применяя метод подбора частных решений:

различным представлениям правой части f(x) уравнения (1) соответствуют свои виды частного решения y_ч.н.

Возможны следующие случаи:

Если правая часть уравнения (1) имеет вид

I. , где - многочлен степени n, тогда, если

a) - не корень (3) ( и ), то y_ч.н= ;

b) - однократный корень (3) ( = либо = ), то y_ч.н=

c) - двукратный корень (3) ( = = ), то y_ч.н=

где - многочлен степени n с неопределенными коэффициентами.

II. , где M, N – числа, тогда, если

a) - не корни (3) ( и ( ) ), то y_ч.н=

b) - корни (3) ( = и ( )= ), то y_ч.н= где A, B – числа.

III. , тогда, если

a) не корни (3) ( и ), то y_ч.н=

b) корни (3) ( = и ( )= ), то y_ч.н=

где и

- многочлены степени l с неопределенными коэффициентами.

3. Находим неопределенные коэффициенты, подставляя построенное y_ч.н в исходное уравнение (1).

4. Записываем ответ по формуле( ).

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

(4)

Решение.По теореме (1)

y_о.н.= y_о.о+ y_{ч.н.. ( )}

1. Найдем общее решение (y_о.о)_.соответствующего однородного уравнения

(5)

Составим характеристическое уравнение

Оно имеет два различных действительных корня

Следовательно,

ФСР: { }

и общее решение уравнения (5) запишется так

2. Ищем какое – либо частное решение (y_ч.н.) неоднородного уравнения (4), применяя метод подбора частных решений.

Здесь правая часть уравнения (4) имеет вид (III) c

Так как - не корни характеристического уравнения и , то частное решение будем искать в виде ( III.a)):

y_ч.н= (6)

где A, B – неопределенные коэффициенты (неизвестные числа).

3. Находим неопределенные коэффициенты. Дважды продифференцируем y_ч.н и подставим в исходное уравнение (4). Имеем

Приравниваем коэффициенты при в обеих частях равенства, получим

систему из двух уравнений с двумя неизвестными A и B, из которой определяем

Таким образом, по формуле (6)

y_ч.н .

4. Находим общее решение по формуле ( )

y_о.н.=

Ответ: y_о.н.=