С разделяющимися переменными.

Постановка задачи. Найти общий интеграл дифференциального уравнения вида

(3)

где непрерывные функции или постоянные.

План решения.

1) В области, где и , разделим обе части уравнения (3) на получим уравнение с разделенными переменными

(4)

2) Проинтегрируем обе части уравнения (4)

(5)

и запишем ответ в виде: общий интеграл определяется уравнением при любых значениях с.

Определение. Дифференциальное уравнение (3) называют уравнением с разделяющимися переменными.

Замечание 1. В ходе преобразования уравнения (3) выполнили деление на . При этом могут быть потеряны некоторые решения уравнения (3).

Если и - решения уравнения которые удовлетворяют (3) и не входят, ни при каком значении с, в его общее решение, то, так называемые, особые решения и уравнения нужно дописать к ответу (5).

Замечание 2. Если уравнение (2) можно представить в виде

то, учитывая, что , получим уравнение с разделяющимися переменными.

Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Решение.Учитывая, что , преобразуем уравнение к виду

- это уравнение с разделяющимися переменными. Здесь

1) В области, где и разделим обе части уравнения на получим уравнение с разделенными переменными вида

2) Проинтегрируем обе части этого уравнения

(1)

- общий интеграл.

Упростим решение, если в качестве с возьмем

или - общий интеграл уравнения .

Исследуем условия и

и

Значения

не удовлетворяет уравнению ;

и удовлетворяют уравнению и входят при с₁=0в его общее решение.

Ответ: - общий интеграл.