Оптимальность

Определение. Набор из точек назы­вается фреймом Мерседес-Бенц, если выполнены два условия:

1. при (8)

2.

Такое определение полезно для описания всего множества решений в задаче 2.

Теорема 2. При решениями задачи 2 являются фреймы Мерседес-Бенц и только они.

доказательство. Возьмем произвольный фрейм Мерседес-Бенц М. Расстояния равны между собой:

Количество чисел равно поэтому

Для произвольного набора точек сферы нужно до­казать, что . Для этого используем идею работы [1]. Имеем

,

где . Поскольку при , то функция вогнута. Проведем касательную в точке :

Тогда при всех . Легко подсчитать, что

Итак,

Суммируя слагаемых, получим

Легко видеть, что

Поэтому

Придем к неравенству

Значит, М — решение задачи 2.

Если X другое решение ,то в (10) отброшенное слага­емое равно нулю: . Кроме того, в (9) будет равенство, а это возможно только при выполнении равенства при всех . Значит, X — фрейм Мерседес-Бенца. Теорема доказана.

Некоторые примеры

Опираясь на теорему 2, докажем следующие примеры и покажем, что решениями явля­ются фреймы Мерседес-Бенц и только они.

Пример 1. Расположить точек на сфере так, чтобы про­изведение расстояний между ними стало максимальным.

Решение. По лемме нужно построить оптимальное решение данной задачи, т.е.

.

Данная задача сводится к определению максимального значения

,

далее по теореме 2.

Пример 2. Расположить ( ) точек на сфере так, чтобы минимальное расстояние между ними стало мак­симальным.

Решение. При сфера представляет собой единичный отрезок и расположение трех точек на отрезке очевидно, так как точки расположатся равномерно на расстоянии друг от друга. Рассмотрим последовательно следующие случаи:

1) Пусть . Тогда сфера представляет собой окружность и расположение четырех точек на окружности также легко, так как эти точки будут на вершинах квадрата.

2) Пусть . Тогда сфера представляет собой сферу и равномерное расположение пяти точек на окружности проводится как вписанная правильная пирамида, у которой все ребра равны между собой.

Пример 3.При минимизировать функцию

по всем наборам из попарно различных точек сферы , .

Решение.Данная задача сводится к определениюмаксимального значения функции

,

которое решается при помощи построенного фрейма Мерседес-Бенца. Для этого пользуясь неравенством

,

получим

.