Основные задачи расположения точек на сфере

Через

обозначим скалярное произведение век­торов из -мерного евклидова пространства . Пусть — длина вектора ,

единичная сфера

В работе Н. Н. Андреева и В. А. Юдина [1] рассма­тривается задача минимизации потенциальной энергии N отрицательных зарядов, расположенных на сфере S². Авторы оригинальным методом ре­шили задачу при N = 6 и N = 12. О физической интерпретации задачи можно узнать в разделе «Задача Томсона» указанной работы. Ана­логичная задача в в-мерном пространстве может быть сформулирована так.

Задача1. Минимизировать функцию

по всем наборам из N попарно различных точек сферы

Мы рассмотрим эту задачу для , сначала, установим связь с задачей максимизации суммы расстояний точек на сфере (на эту связь также обращено внимание в [1]).

Воспользуемся известным неравенством между средним гармониче­ским и средним арифметическим положительных чисел :

откуда

(Равенство достигается только тогда, когда ).

Отсюда получаем неравенство

(1)

Естественно рассмотреть следующий пример.

Задача 2. Расположить точек на сфере так, чтобы сумма попар­ных расстояний

(2)

точек сферы была бы максимальной.

В некотором смысле задача 1 является следствием задачи 2, как по­казывает следующая лемма.

Лемма. Пусть — оптимальное решение задачи 2

и пусть при этом расстояния , равны между собой. Тогда набор является решением 1.

Доказательство. Для произвольного набора по­парно различных точек сферы в силу (1) и (2) имеем

Последнее равенство следует из того, что чисел , , равны между собой. Лемма доказана.

В связи с этой леммой представляется разумным сначала решить за­дачу 2, и если в решении расстояния окажутся равными, то сразу получим решение задачи 1.

При решение задачи 2 интуитивно ясно. При оптималь­ные точки будут располагаться в вершинах правильного треугольника, при — в вершинах правильного тетраэдра, а при — в вершинах правильного -мерного симплекса.

Векторы, ведущие из начала координат в вершины симплекса, обра­зуют фрейм Мерседес-Бенц.

В дальнейшем построим этот фрейм в явном аналитическом виде. Полученные формулы будут использованы при доказательстве оптимальности построенного решения задачи 2.