Плотность распределения. Вероятность попадания непрерывной случайной величины на интервал.

Доказанная в предыдущем пункте лемма показывает, что непрерывные случайные величины (НСВ) существенно отличаются от дискретных случайных величин (ДСВ). Для описания распределения вероятностей поступим следующим образом. Вместе с точкой х рассмотрим прилегающий к ней элементарный интервал числовой оси при или при . Для определенности будем считать, что . Назовем средней плотностью вероятности по участку отношение вероятности попадания СВ на этот участок к его длине:

Принимая во внимание формулу для вычисления вероятности попадания на интервал, получим

Мы будем говорить, что для НСВ Х определена плотность распределения вероятностей в точке х, если существует предел средней вероятности при неограниченном стягивании отрезка в точку х. Обозначают плотность распределения или . Следовательно, по определению

Из приведенных рассуждений вытекает, что для НСВ плотность определена тогда и только тогда, когда функция распределения имеет производную в соответствующей точке и при этом . Всюду ниже мы предполагаем, что плотность определена в каждой точке числовой оси.

Поскольку функция распределения является первообразной для плотности приращение функции распределения есть интеграл от плотности: . В связи с этим формулам для вероятности попадания НСВ на интервал можно придать следующий вид:

Замечание 1. Геометрически вероятность попадания на интервал можно трактовать как площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями

.

Замечание 2. В некоторых учебниках плотность вероятности называют дифференциальной функцией, а функцию распределения – интегральной функцией.