Свойства дисперсии

1. Дисперсия СВ неотрицательна.

2. Дисперсия СВ равна нулю тогда и только тогда, когда эта СВ постоянна.

3. Дисперсия есть математическое ожидание квадрата СВ без квадрата его математического ожидания: .

4. Дисперсия алгебраической суммы независимых случайных величин есть сумма их дисперсий: .

5. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии возведенным в квадрат: .

Это свойство очевидно.

Замечание. Из определения и свойств дисперсии вытекает, что дисперсия характеризует величину отклонения значений, принимаемых СВ, от математического ожидания. Однако, на практике оказалось более удобным для описания степени разбросанности значений СВ вокруг математического ожидания использовать не дисперсию, а связанную с ней числовую характеристику, называемую средним квадратическим отклонением.

Среднее квадратическое отклонение.\

Определение. Средним квадратическим отклонением СВ называю корень квадратный из ее дисперсии.

Обозначают дисперсию одним из следующих способов: . Таким образом, по определению .

Отметим следующие свойства среднего квадратического отклонения, вытекающие из соответствующих свойств дисперсии:

1. Среднее квадратическое отклонение постоянной СВ равно нулю.

2. Среднее квадратическое отклонение произведения независимых СВ равно произведению их средних квадратических отклонений.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания взятым по модулю.

Пример 1. Случайная (Х) величина задана рядом распределения.

Вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

По определению функций от СВ

Поэтому ,

Следовательно, .

Пример 2. Для рассмотренных выше СВ

имеющих нулевые математические ожидания, найдем дисперсии и средние квадратические отклонения.

По определению имеем