Числовые характеристики случайной величины

Функция распределения содержит полную информацию о случайной величине. На практике функцию распределения не всегда можно установить; иногда такого исчерпывающего знания и не требуется. Частичную информацию о случайной величине дают числовые характеристики, которые в зависимости от рода информации делятся на следующие группы.
1. Характеристики положения случайной величины на числовой оси (мода Мo, медиана Мe, математическое ожидание М(Х)).
2. Характеристики разброса случайной величины около среднего значения (дисперсия D(X), среднее квадратическое отклонение σ(х)).
3. Характеристики формы кривой y = φ(x) (асимметрия As, эксцесс Ех).
Рассмотрим подробнее каждую из указанных характеристик.
Математическое ожидание случайной величины Х указывает некоторое среднее значение, около которого группируются все возможные значения Х. Для дискретной случайной величины, которая может принимать лишь конечное число возможных значений, математическим ожиданием называют сумму произведений всех возможных значений случайной величины на вероятность этих значений:
. (2.4)
Для непрерывной случайной величины Х, имеющей заданную плотность распределения φ(x) математическим ожиданием называется следующий интеграл:
. (2.5)
Здесь предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т.е. существует.
Свойства математического ожидания:
1. М(С) = C, где С = const;
2. M(C∙Х) = С∙М(Х);
3. М(Х ± Y) = М(Х) ± М(Y), где X и Y – любые случайные величины;
4. М(Х∙Y)=М(Х)∙М(Y), где X и Y – независимые случайные величины.
Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина.
Модой дискретной случайной величины, обозначаемой Мо, называется ее наиболее вероятное значение (рис. 2.3), а модой непрерывной случайной величины – значение, при котором плотность вероятности максимальна (рис. 2.4).

Рис. 2.3 Рис. 2.4
Медианой непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение Ме, для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше Ме, т.е.
Р(Х < Ме) = Р(X > Ме)
Из определения медианы следует, что Р(Х<Ме) = 0,5, т.е. F (Ме) = 0,5. Геометрически медиану можно истолковывать как абсциссу, в которой ордината φ(x) делит пополам площадь, ограниченную кривой распределения (рис. 2.5). В случае симметричного распределения медиана совпадает с модой и математическим ожиданием (рис. 2.6).

Рис. 2.5 Рис. 2.6
Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания
D(X) = M(X –М(Х))².
Дисперсию случайной величины Х удобно вычислять по формуле:
а) для дискретной величины
; (2.6)
б) для непрерывной случайной величины
j(х)dx – [M(X)]² . (2.7)
Дисперсия обладает следующими свойствами:
1. D(C) = 0, где С = const;
2. D(C×X) = C²∙D(X);
3. D(X±Y) = D(X) + D(Y), если X и Y независимые случайные величины.
Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется арифметический корень из дисперсии, т.е.
σ(X) = .
Заметим, что размерность σ(х) совпадает с размерностью самой случайной величины Х, поэтому среднее квадратическое отклонение более удобно для характеристики рассеяния.
Обобщением основных числовых характеристик случайных величин является понятие моментов случайной величины.
Начальным моментом k-го порядка α_k случайной величины Х называется математическое ожидание величины Х^k, т.е. α_k = М(Х^k).
Начальный момент первого порядка – это математическое ожидание случайной величины.
Центральным моментом k-го порядкаμ_k случайной величины Х называется математическое ожидание величины (Х–М(Х))^k, т.е. μ_k = М(Х–М(Х))^k.
Центральный момент второго порядка – это дисперсия случайной величины.
Для дискретной случайной величины начальный момент выражается суммой α_k = , а центральный – суммой μ_k = где р_i = p(X = x_i). Для начального и центрального моментов непрерывной случайной величины можно получить следующие равенства:
α_k = ,  μ_k = ,
где φ(x) – плотность распределения случайной величины Х.
Величина As = μ₃ / σ³ называется коэффициентом асимметрии.
Если коэффициент асимметрии отрицательный, то это говорит о большом влиянии на величину m₃отрицательных отклонений. В этом случае кривая распределения (рис.2.7) более полога слева от М(Х). Если коэффициент As положительный, а значит, преобладает влияние положительных отклонений, то кривая распределения (рис.2.7) более полога справа. Практически определяют знак асимметрии по расположению кривой распределения относительно моды (точки максимума дифференциальной функции).

Рис. 2.7
Эксцессом Еk называется величина
Еk = μ₄ / σ⁴ – 3.
Можно показать, что для наиболее распространенного в природе нормального закона распределения, который будет рассматриваться в следующем параграфе, отношение μ₄ / σ⁴ = 3. Поэтому эксцесс служит для сравнения данного распределения с нормальным, у которого эксцесс равен нулю. Можно было бы доказать, что распределения более островершинные, чем нормальное, имеют эксцесс Еk > 0, а более плосковершинные – имеют эксцесс Еk < 0 (рис.3.8).

Рис. 2.8
Задача. Дискретная случайная величина Х, имеющая смысл числа курьеров, задействованных для доставки корреспонденции в коммерческой организации, задана законом распределения:

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Решение. Так как случайная величина является дискретной, то для вычисления М(Х) воспользуемся формулой (3.4). Имеем
М( х) = х₁ × р₁ + х₂ × р₂ + х₃ × р₃ + х₄ × р₄ = 0 × 0,4 + 1 ×0,1 + 2 × 0,3 + 3 × 0,2 = 1,3.
Найдем дисперсию D(x). Предварительно найдем математическое ожидание от х²:
М(х²) = х₁² × р₁ + х₂² × р₂+ х₃² × р₃+ х₄² × р₄ = 0² × 0,4 + 1² × 0,1 + 2² × 0,3 + 3² × 0,2 = 3,1.
Далее по формуле (3.6) получаем
D(X) = 3,1 – 1,3² = 3,1 – 1,69 = 1,41.
Найдем среднее квадратическое отклонение. Имеем
σ(х) = .
Таким образом, среднее число курьеров равно 1,3 со средним разбросом 1,22.
Задача. Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения

Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение . По определению дифференциальной функции φ(х) = F ¢ ( x ). Отсюда
В точках х = 0 и х = π функция φ(х) не дифференцируема. По формуле (3.5) получаем

Находим сначала М(Х²). Имеем

Далее по формуле (3.7) получаем
.
Задача. Случайная величина задана функцией

Найти коэффициент асимметрии и эксцесс.
Решение. Предварительно вычислим начальные моменты до четвертого порядка. Имеем:

Теперь, воспользовавшись следующими формулами (они легко получаются из определения и свойств математического ожидания и дисперсии), найдем центральные моменты:

Отсюда следует, что .
Далее имеем .

2.4. Теоретические распределения

2.4.1. Биномиальное распределение

Пусть в каждом из n независимых испытаний событие А может произойти с одной и той же вероятностью р(следовательно, вероятность непоявления q =1 – p). Дискретная случайная величина Х – число наступлений события А – имеет распределение, которое называется биномиальным.
Очевидно, событие А в n испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, …, либо nраз. Таким образом, возможные значения Х таковы: х₁ = 0, х₂ = 1, х₃ = 2,…, х_n+1 = n. Вероятность возможного значения Х = k (числа k появления события) вычисляют по формуле Бернулли:
P_n(k) = C_n^k·p^k·q^n–k,
где k = 0, 1, 2, …, n.
Ряд распределения случайной величины Х, подчиненной биномиальному закону, можно представить в виде следующей таблицы:

Название закона связано с тем, что вероятности P_n(k) при k = 0, 1, 2, …, n являются членами разложения бинома Ньютона
(p + q)ⁿ = qⁿ + C_n¹·p¹·q^n–1 + … + C_n^k·p^k·q^n–k + … +pⁿ.
Отсюда сразу видно, что сумма всех вероятностей второй строки таблицы равна 1, так как p +q =1.
Задача. В цехе работают четыре станка. Вероятность остановки в течение часа каждого из них равна 0,8. 1) Найти закон распределения случайной величины Х – числа станков, остановившихся в течение часа. 2) Найти вероятность остановки в течение часа: а) более двух станков; б) от одного до трех станков.
Решение. 1) Возможные значения Х следующие: 0, 1, 2, 3, 4. Вероятность этих значений можно найти по формуле Бернулли, потому что Х имеет биномиальное распределение (станки останавливаются независимо друг от друга с постоянной вероятностью р=0,8). Получаем р₄(0)=q⁴=0,0016, р₄(1)=C₄¹p¹q³=0,0256, р₄(2)= C₄² p²q² = 0,154, р₄(3)=C₄³ · p³· q¹=0,41, р₄(4)= p ⁴ = 0,41. Ряд распределения имеет вид

2) а) Р(X>2)= P(X =3)+P(X=4)=0,41+0,41=0,82.
б) P1≤X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+ P(X=3)=0,0256+0,154+0,41=0,59.