Непрерывную случайную величину нельзя охарактеризовать перечнем всех возможных ее значений и их вероятностей. Естественно, встает вопрос о том, нельзя ли охарактеризовать случайную величину иным способом, одинаково годным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Функцией распределения случайной величины Х называют функцию F(x), определяющую для каждого значениях, вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше х, т.е. F(x) = P (X <x). Иногда функцию F(x) называют интегральной функцией распределения. Функция распределения обладает следующими свойствами: 1. Значение функции распределения принадлежит отрезку [0,1]: 0 ≤ F(x) ≤ 1. 2. Функции распределения есть неубывающая функция. 3. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: Р(а < X < b) = F(b) – F(а). (2.1) 4. Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (а, b), то F(x) = 0 при х ≤ а; F(x) = 1 при х ≥ b. 5. Справедливы следующие предельные отношения: . Для дискретной случайной величины Х, которая может принимать значения х1, х2, …,хn, функция распределения имеет вид
где неравенство под знаком суммы означает, что суммирование касается всех тех значений хi, величина которых меньше х. Поясним эту формулу исходя из определения функции F(x). Предположим, что аргумент х принял какое-то определенное, но такое, что выполняется неравенство xi<x≤xi+1. Тогда левее числа х на числовой оси окажутся только те значения случайной величины, которые имеют индекс 1, 2, 3, …, i. Поэтому неравенство Х<xвыполняется, если величина Х примет значения хк, где k = 1, 2, …, i. Таким образом, событие Х<x наступит, если наступит любое, неважно какое, из событий Х = х1, Х=х2, Х=х3, …, Х=хi. Так как эти события несовместны, то по теореме сложения вероятностей имеем . (2.2) Предположим теперь, что для непрерывной случайной величины Х ее функция распределения F(x) имеет непрерывную производную F'(x)= φ(x). Функцию φ(x) называют плотностью вероятности (для данного распределения) или дифференциальной функцией. Так как плотность вероятности φ(x) является производной неубывающей функции F(x), то она неотрицательна: φ(x)≥0. В отличие от функции распределения, плотность вероятности может принимать сколь угодно большие значения. Так как F(x) является первообразной для φ(x), то на основании формулы Ньютона-Лейбница имеем . Отсюда в силу (3.1) получаем P(a ≤ X ≤ b) = . (2.3) Полагая а=–∞ и b=+∞, получаем достоверное событие Х принадлежащее (–∞, +∞), вероятность которого равна единице. Следовательно, . В частности, если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то . Полагая в формуле а = –∞, b = х и обозначая для ясности переменную интегрирования t, получим функцию распределения F(x) = P(– ∞ < X < x) = . Задача 2.1. Найти интегральную функцию распределения случайной величины Х, заданной рядом распределения:
Х
Р
0,3
0,2
0,5
и построить ее график. Решение. Пусть х ≤ 1, тогда F(x) = 0, так как событие Х < х будет невозможным. Если 1 < х ≤ 2, то на основании равенства (3.2) имеем F(x) = p1 = 0,3. Если 2 < х ≤ 3, то F(x) = p1 + p2 = 0,5. Если х > 3, то F(x) = p1 + p2 + p3 = 1. Окончательно получаем
График функции F(х) изображен на рис. 3.1.
Рис. 3.1 Задача 2.2. Функция распределения случайной величины Х задана выражением
Найти коэффициент α; вероятность попадания значения случайной величины Х в результате опыта в интервал (π/4; 3π/4); построить график функции. Решение . При х=3 π/4 функция F(x ) равна 1, т.е. α∙ sin (3π/4–π/4)+1/2=1, или α∙si n(π/2) + 1/2 = 1. Откуда α = 1/2. Подставляя а = π/4 и b = 3π/4 в равенство (3.1), получаем π (π/4 <X<3π/4) = F(3π/4) - F(π/4) = 1/2 × sin(π/2)+1/2–1/2 × sin 0 – 1/2 = 1/2. График функции у =1/2∙sin(х-π/4 )+1/2 отличается от графика функции у = sinх тем, что он «сжат» по оси Оу в два раза, сдвинут вправо на π/4, поднят вверх на 1/2. Воспользовавшись этим замечанием, отразим график F(x) (рис. 3.2).
Рис. 3.1 Задача 2.3. Средняя продолжительность срока реализации товара (в часах) имеет следующую плотность распределения: φ(х)= Вычислить: а) вероятность того, что товар будет реализован позднее 150 часов; б) вероятность того, что товар будет реализован позднее 200 часов и в то же время не позднее 300 часов. Решение. а) Обозначим срок реализации товара через Х. Мы знаем, что Р(Х > 150) = 1 – Р(Х < 150) и что Р(Х < 150) = F (150). В то же время .