Неопределенный интеграл, методы интегрирования

1. Понятия первообразной и неопределенного интеграла.

Функция называется первообразной для функции , если .

Множество всех первообразных функции задается формулой F(x)+C, где С – произвольное число, и называется неопределенным интегралом от функции :

.

2.Свойства неопределенного интеграла.

;

,

где k – постоянная, отличная от нуля.

3.Таблица интегралов.

1. 8.

2. 9.

3. 10.

4. 11.

5. 12.

6. 13.

7. 14.

15.

Примечание.Формулы верны, когда переменная х является независимой переменной, а также когда х является функцией другой переменной: х = х(t).

4.Основные методы интегрирования.

Идея всех методов интегрирования заключается в приведении искомого интеграла к табличному интегралу или сумме табличных интегралов.

1) Непосредственное интегрирование.

Интеграл приводится к табличному виду путем алгебраических или тригонометрических преобразований.

2) Замена переменной (интегрирование подстановкой).

Сведение интеграла к табличному виду осуществляется с помощью подстановки t = j(x). Тогда дифференциал dt равен

.

Рекомендации по введению новой переменной даны ниже в примерах.

3) Интегрирование по частям.

Интегрирование по частям производится по формуле

Этим методом интегрируются некоторые произведения, например, произведения степенной функции на логарифмическую, или на показательную, или на тригонометрическую, или на обратные тригонометрические функции.

Чтобы воспользоваться формулой, следует один множитель в подынтегральном выражении обозначить u, а другой множитель вместе с dx принять за dv.

Для того, чтобы интеграл в правой части был проще данного интеграла, надо правильно выбрать множители u и dv.

В интегралах, берущихся по частям, обычно логарифмическую и обратные тригонометрические функции принимают за u, а показательную или тригонометрические функции относят к dv.

5.Связь между интегрированием и дифференцированием.

Интегрирование – это операция, обратная дифференцированию. Если интеграл взят правильно, то производная от интеграла равна подынтегральной функции:

.

Задача.Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

Решение.В контрольной работе интеграл под буквой а берется методом непосредственного интегрирования. При этом используются табличные интегралы от степенных функций:

а)