Приближенное вычисление суммы ряда

Для приближенного вычисления суммы S сходящегося ряда полагают , пренебрегая остатком . Чтобы оценить ошибку, допускаемую при этом, нужно оценить остаток.

Абсолютная погрешность при замене суммы ряда S его частичной суммой S_n равна модулю остатка ряда .

Если требуется найти сумму ряда с точностью до ε > 0, то надо взять сумму такого числа n первых членов ряда, чтобы выполнялось неравенство .

Если даны два сходящихся знакоположительных ряда и , причем а_n< в_n, то ряд называется мажорирующим рядом по отношению к ряду .

Теорема 1. (Оценка остатка знакоположительного ряда).

Остаток мажорирующего ряда R_м всегда больше или равен остатку основного

ряда R_n : .

Теорема 2. Для сходящегося знакоположительного ряда, члены которого монотонно

убывают, начиная с (n+1)-го, справедлива следующая оценка остатка

, где f(x) – ф-ция, используемая в интегральном признаке Коши.

Теорема 3. (Оценка остатка знакопеременного ряда).

Пусть дан абсолютно сходящийся ряд . Тогда абсолютная величина его

n–го остатка R_n не превосходит n–го остатка ряда , составленного из

абсолютных величин членов этого ряда .

Теорема 4. (Оценка остатка знакочередующегося ряда).

Если знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница, то его n–ый

остаток по абсолютной величине не превосходит первого из отброшенных

членов .

Пример 1. Вычислить сумму ряда с точностью до 0.1.

Решение. Оценим остаток ряда по теореме 2. .

Если взять первые 10 членов ряда, то остаток . (с точностью до 0.1).

Пример 2. Вычислить сумму ряда с точностью до 0.1.

Решение. Рассмотрим вспомогательный ряд , который является мажорирующим для исходного ряда. Это убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем q = 1/5, поэтому сходящаяся. Следовательно по теореме 1остаток исходного ряда меньше остатка вспомогательного ряда:

Следовательно, нужно взять сумму первых трех членов ряда:

(с точностью до 0.002)

Пример 3. Вычислить сумму ряда с точностью до 0.01.

Решение. Данный ряд сходится по признаку Лейбница, поэтому .

.

При n = 1 получаем .

При n = 2 получаем .

При n = 3 получаем .

Получим, что для вычисления суммы ряда с заданной точностью достаточно взять три первых члена ряда, погрешность вычисления определяется четвертым членом. Итак

.