Абсолютная сходимость рядов.

В этом параграфе будем изучать ряды, члены которых являются действительными числами любого знака.

Опр. Ряд, члены которого имеют как положительные, так и отрицательные члены,

называют знакопеременным.

Теорема. Пусть дан знакопеременный ряд (1) и ряд, составленный из его модулей

(2). Тогда, если ряд (2) сходится, то ряд (1) тоже сходится.

Опр. Пусть даны два ряда (1) и (2). Если ряд (1) сходится и при этом ряд (2)

сходится, то ряд (1) сходится абсолютно. Если ряд (1) сходится, а ряд (2)

расходится, то ряд (1) сходится условно.

Свойства абсолютно сходящихся рядов

1) Слагаемые абсолютно сходящихся рядов можно менять местами, не изменяя сумму ряда. Если ряд сходится условно, то при перемене мест его слагаемых можно получить сумму ряда, равную любому заранее заданному числу, и более того, можно получить ряд расходящийся.

2) Абсолютно сходящиеся ряды в отличие от условно сходящихся можно перемножать. При этом сумма произведения рядов будет равна произведению сумм рядов сомножителей.

Схема исследования на сходимость знакочередующихся рядов

1. Составляем ряд из абсолютных величин данного знакочередующегося ряда и ииследуем сходимость полученного знакоположительного ряда с помощью одного из достаточных признаков сходимости.

Делаем вывод: если ряд из абсолютных величин сходится, то исходный знакочередующийся ряд сходится абсолютно, если расходится, то исследуем исходный ряд на условную сходимость, проверяем выполнение признака Лейбница:

Если , то утверждаем, что ряд расходится.

Если , то ряд сходится условно.

Замечание. Если общий член знакочередующегося ряда имеет такой вид, что легко найти , то начинаем исследование с проверки выполнения признака Лейбница.

Примеры: Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:

1) (1) (2) Ряд (1) при α > 0 сходится по Лейбницу. Ряд (2) - эталонный ряд, сходится при α > 1 . Следовательно при 0 < α 1 ряд (1) сходится условно и при α > 1 ряд сходится абсолютно.

2) (сходится условно). 10)

3) 11)

4) 12)

5) 13)

6) 14)

7) 15)

8) 16)

9)