Уравнения с разделяющимися переменными.

14.3.1.1. Уравнения с разделёнными переменными. Так называются уравнения вида

f(x) dx + g(y) dy = 0. (10)

Пусть y(x) - решение этого уравнения, т.е. f(x)dx + g(y(x))dy(x) = 0. Интегрируя это тождество, получим - общий интеграл (общее решение) этого уравнения.

Пример: решить задачу Коши Исходное уравнение - с разделёнными переменными, интегрируя его, получим

. Соотношение (x-1)² + y³ = C - общее решение (общий интеграл) уравнения; для того, чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию, надо подставить в общее решения данные значения x₀ и y₀, и найти значение постоянной C на этом решении: (2-1)² + 1³ = 2 C = 2. Таким образом, решение поставленной задачи: (x-1)² + y³ = 2.

14.3.1.2. Уравнения с разделяющимися переменными. Так называются уравнения вида

(11)

или f₁(x) g₁(y) dx + f₂(x) g₂(y) dy = 0 . (12)

Эти уравнения легко сводятся к уравнению с разделёнными переменными:

Записываем уравнение (11) в форме , затем делим на g(y) и умножаем на dx: .		Уравнение (12) делим на f₂(x) g₁(y): .
Эти уравнения - с разделёнными переменными. Интегрируя, получим общие интегралы:
.		.
В обоих случаях возможна потеря решений: деление на функцию может привести к уравнению, которое неэквивалентно данному.
Если функция g(y) имеет действительные корни y₁, y₂, y₃, …, то функции y = y₁, y = y₂, y = y₃, …, очевидно, являются решениями исходного уравнения.		Если функция f₂(x) имеет действительные корни корни x₁, x₂, x₃, …, функция g₁(y) имеет действительные корни y₁, y₂, y₃, …, то функции x = x₁, x = x₂, x = x₃, …, y = y₁, y = y₂, y = y₃, … являются решениями исходного уравнения.
В обоих случаях эти решения могут содержаться в общем решении, но могут и не содержаться в нём; последнее может случиться, если на этих решениях нарушаются условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Примеры: 1. .

При такой форме записи общего интеграла решение y = 1 потеряно. Можно преобразовать общее решение к виду, который содержит это решение. Переобозначим постоянную C как ln|C₁|: .

Вернёмся к обозначению постоянной интегрирования C; общее решение содержит частное решение y = 1 при C = 0.

2. Найти решение задачи Коши

Решаем уравнение: .

Здесь могут быть потеряны решения постоянная интегрирования записана как . Далее, . Общий интеграл уравнения

y² = C(x² – 1) + 1. Частные решения содержатся в общем интеграле при C = 0, решения утеряны (понятно, почему это произошло: если записать уравнение в форме, решённой относительно производной, , то, очевидно, на решениях нарушаются условия, налагаемые теоремой Коши на правую часть уравнения). Всё множество решений:

y² = C(x² – 1) + 1, x = 1, x = -1. Мы должны найти ещё частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1) = 5. Подстановка значений x = 1, y = 5 в общий интеграл даёт 25=1, т.е. общий интеграл этого частного решения не содержит. Решение x = 1 удовлетворяет начальному условию, это и есть решение задачи Коши.

К уравнениям с разделяющимися переменными сводятся уравнения вида ( - постоянные). Если перейти к новой неизвестной функции z = ax + by + c, то , и уравнение представляется как . Это - уравнение с разделяющимися переменными.

Пример: .

14.3.2. Уравнения с однородной правой частью.Так называются уравнения со специальным видом зависимости функции f(x, y) от своих аргументов:

. (13)

Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции u(x) заменой , или . Подставляя в (13) y = x u, , получим (это - уравнение с разделяющимися переменными), - это общий интеграл уравнения относительно переменных x, u.

Пример:

- общее решение уравнения.

Как "узнать в лицо" уравнение с однородной правой частью? Введём определение. Функция f(x, y) называется однородной функцией своих аргументов степени m, если для любого t выполняется тождество f(tx,ty) = t^m f(x, y). Так, x³ – 3xy² + 4y³ - однородная функция степени 3, ln x – ln y- однородная функция нулевой степени. Если M(x, y), N(x, y) - однородные функции одной степени, то уравнение M(x, y)dx +N(x, y)dy = 0 может быть приведено к виду .

Примеры: 1. (y²- 2xy)dx + x²dy = 0. Здесь коэффициенты при дифференциалах - однородные функции второй степени, т.е. уравнение должно приводиться к виду (13). Решаем уравнение относительно производной: делим числитель и знаменатель правой части на x²: - это уравнении с однородной правой частью.

Это общий интеграл уравнения. Утерянные решения: x = 0, y = x (u = 1); решение y = 0 (получаемое из u = 0) содержится в общем решении при C = 0.

2. . Преобразуем уравнение: . Решение: общий интеграл уравнения в переменных x, u: . Преобразуем это выражение:

, или ( ). Утерянные решения: Ответ: ( ); .

14.3.3. Линейные уравнения.ДУ первого порядка называется линейным, если неизвестная функция y(x) и её производная входят в уравнение в первой степени:

. (14)

Здесь p(x), q(x) - непрерывные функции.

Для решения уравнения (14) представим y(x) в виде произведения двух новых неизвестных функций u(x) и v(x): y(x) = u(x) v(x). Тогда , и уравнение приводится к виду , или . Это уравнение решаем в два этапа: сначала находим функцию v(x) как частное решение уравнения с разделяющимися переменными ; затем находим u(x) из уравнения . Итак, (мы не вводим в это решение произвольную постоянную C, нам достаточно найти одну функцию v(x), обнуляющую слагаемое со скобками в уравнении ). Теперь уравнение для u(x) запишется как

. Общее решение уравнения (14): .

Запоминать эту формулу не надо, лучше усвоить порядок действий и воспроизводить его при решении каждой задачи.

Пример: . Решение:

. Теперь для u(x) получим: ,

и общее решение уравнения . Для нахождения частного решения, соответствующего начальным условиям задачи Коши, подставим в общее решение . Решение задачи: .

Этот метод решения линейных уравнений часто реализуется по-другому - в форме вариации произвольной постоянной. Уравнение (14) называется однородным, если q(x) = 0. Пусть дано неоднородное уравнение (14) . Оно, как и в предыдущем случае, решается в два этапа. Обнулим правую часть, получившееся уравнение будем называть однородным уравнением, соответствующим уравнению (14): . Решаем это уравнение:

(при делении на y теряется решение y (x) = 0, но оно входит в общее решение при C = 0). Теперь ищем общее решение уравнения (14) в виде , где - новая неизвестная функция; находим производную и подставляем в (14) y и : , или , где . Теперь .

Понятно, что обе реализации решения имеют один смысл (решение однородного уравнения играет роль функции v(x), варьируемая постоянная C(x), - роль функции u(x),).

Отметим ещё одно важное обстоятельство. Переменные x и y, входящие в уравнение, равноправны, поэтому при определении типа уравнения надо иметь в виду, что может оказаться предпочтительней искать решение в виде x = x(y), а не в виде y = y(x).

Пример: (x + y²)dy = ydx. Если мы представим это уравнение в виде , то решить его не сможем, так как оно не принадлежит ни одному из рассмотренных типов. Если же представить его в виде , то относительно функции x = x(y) оно линейно. Решаем его методом вариации произвольной постоянной. Соответствующее однородное уравнение: . Его решение:

. Ищем решение данного уравнения в форме x = C(y) y. Тогда (постоянная C₀ переобозначена как ). Утерянное решение - y = 0.

14.3.4. Уравнение Бернулли. Так называется уравнение

, (15)

где (при m = 0 уравнение линейно, при m = 1 - с разделяющимися переменными). Это уравнение решается одним из следующих способов:

1. Уравнение Бернулли сводится к линейному подстановкой z = y^1-^m (при m>1 может быть потеряно решение y = 0). Действительно, , . После деления уравнения (15) на y^m получим , или - линейное уравнение.

Пример: (уравнение Бернулли, m = 2).

Подстановка . Решаем полученное линейное уравнение: .

2. Можно сразу решать уравнение Бернулли методом, которым решаются линейные уравнения, т.е. заменой y(x) = u(x) v(x): из этого выражения находим u(x), и y(x) = u(x) v(x).

Пример: решить задачу Коши Как и в предыдущем примере, это уравнение не попадает ни под один из рассмотренных типов: оно не является ни уравнением с разделяющимися переменными (наличие суммы x² + y), ни уравнением с однородной правой частью (слагаемые разных порядков - первого и второго в этой сумме), ни линейным, ни Бернулли (другая структура). Попробуем опять представим это уравнение как уравнение относительно x = x(y): Это уже уравнение Бернулли с m = -1. Начальное условие примет вид x(1) = 2. Решаем уравнение: . Тогда

. Это общее решение уравнения (утерянное решение

y = 0 не удовлетворяет начальному условию). Ищем частное решение, удовлетворяющее начальному условию: ; решение задачи Коши: .

14.3.5. Уравнение в полных дифференциалах. Так называется уравнение вида

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0, (16)

(P(x, y), Q(x, y) - непрерывно дифференцируемы) в случае, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), т.е. если существует такая функция u(x, y), что . Необходимым и достаточным условием существования такой функции является условие . Если (16) - уравнение в полных дифференциалах, то его правая часть равна , т.е. (16) принимает вид du(x, y) = 0. На решении y(x) получим

du(x, y(x)) = 0, следовательно, u(x, y(x)) = C, где C - произвольная постоянная. Соотношение

u(x, y) = C и есть общее решение уравнения в полных дифференциалах.

Для нахождения функции u(x, y) решается система уравнений Из первого уравнения этой системы находим с точностью до произвольной дифференцируемой по y функции (эта функция играет роль постоянной интегрирования; так как интегрирование ведётся по переменной x); затем из второго уравнения определяется .

Пример: найти общее решение уравнения . Убедимся, что это - уравнение в полных дифференциалах. Здесь ; , т.е. это действительно уравнение рассматриваемого типа. Ищем функцию u(x, y) такую, что

Из первого уравнения . Дифференцируем эту функцию по y и приравниваем выражению, стоящему во втором уравнении системы: . Если мы правильно решаем это уравнение (т.е. правильно определили его тип и правильно выполнили предыдущие действия), то в полученном уравнении для должны остаться только члены, зависящие от y. Действительно, представляя как , получим . Следовательно, , и общее решение уравнения имеет вид

14.3.6. Особые точки и особые решения уравнения первого порядка. Если в окрестности точки (x₀, y₀) плоскости для уравнения выполняются условия существования и единственности решения задачи Коши (непрерывность f(x, y) и ), то через эту точку проходит единственная интегральная кривая. Если эти условия нарушаются, точку (x₀, y₀) называют особой точкой дифференциального уравнения. Через особую точку может не проходить ни одной интегральной кривой (т.е. задача , y(x₀) = y₀ не имеет решения); может проходить одна интегральная кривая; может проходить несколько интегральных кривых. Особые точки могут образовать кривую, которая сама является интегральной кривой уравнения. Решение уравнения, в каждой точке которого нарушается его единственность, называют особым решением. Для примера рассмотрим уравнение . Здесь - непрерывна в любой точке (x, y), но - не имеет конечного предела при , т.е. в любой точке (x, y) при y = 0 нарушается условие существования непрерывной производной . Следовательно, любая точка (x, 0) является особой точкой уравнения. Прямая y = 0, очевидно, интегральная кривая уравнения (функция y = 0 удовлетворяет уравнению). Найдём общее решение этого уравнения: . Несколько таких функций приведено на рисунке справа вверху вместе с решением y = 0. В любой точке (x, 0) нарушается единственность решения, таким образом, решение y = 0 - особое. На самом деле через любую точку (x, 0)проходит бесконечное количество интегральных кривых, так как любая кривая, составленная из частей особого и неособых решений (одна такая кривая выделена красным пунктиром), также является интегральной кривой.

14.4. Уравнения высших порядков.

Уравнения, допускающие понижение порядка.

Напомним определения раздела 14.1 обыкновенного дифференциального уравнения, его порядка, общего и частного решений:

Опр. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов): .

Опр. Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала).

Опр. Частным решением уравнения (1) на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество.

Опр. Общим решением (общим интегралом) уравнения (1) называется такое соотношение

что: 1. Любое решение этого соотношения относительно (для набора постоянных C₁, C₂, …, C_n из некоторой области n-мерного пространства) - частное решение уравнения (1);

2. Любое частное решение уравнения (1) может быть получено из (2) при некотором наборе постоянных C₁, C₂, …, C_n.

Основную теорему - теорему о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения n-го порядка -мы сформулируем для записи уравнения в форме, разрешённой относительно старшей производной: .

14.4.1. Постановка задачи Коши для уравнения n-го порядка: требуется найти решение уравнения

, (17)

удовлетворяющее начальным условиям

(18)

где y₀, y₁, y₂, …, y_n_-1 - заданные числа.

В случае уравнения второго порядка это означает, что требуется найти решение, проходящее через заданную точку (x₀, y₀,) с заданным угловым коэффициентом y₁.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши: Пусть функция

f(x, y, p₁, p₂, …, p_n_-1) непрерывна и имеет непрерывные частные производные в некоторой области D (n + 1)-мерного евклидового пространства переменных (x, y, p₁, p₂, …, p_n_-1), и пусть точка (x₀, y₀, y₁, y₂, …, y_n_-1) принадлежит области D. Тогда в некоторой окрестности точки x₀ существует решение уравнения (17), удовлетворяющее начальным условиям (18). Это решение единственно.