Некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка.

14.4.2.1. Уравнение вида решается последовательным n-кратным интегрированием. Пример:

Переобозначив постояные, общее решение запишем в виде y(x) = cos x + C₁x³ + C₂x² + C₃x + C₄. 14.4.2.2. Уравнение, не содержащее в явном виде неизвестную функцию и её младшие производные. Порядок уравнения вида F(x, y⁽^k⁾, y⁽^k⁺¹⁾, y⁽^k⁺²⁾, …,y⁽ⁿ⁾) = 0, не содержащего функции y(x) и k - 1 младшую производную этой функции в явном виде, может быть понижен ровно на k единиц введением новой неизвестной функции z(x) = y⁽^k⁾(x). Тогда z⁽ⁿ^-^k⁾ = y⁽ⁿ⁾(x), и относительно z(x) уравнение примет вид , т.е. будет уравнением

n - k-го порядка. После нахождения z(x) последовательным интегрированием решается уравнение

y⁽^k⁾ = z(x).

Пример: решить задачу Коши:

Младшая производная, входящая в явной форме в уравнения, - вторая, поэтому делаем замену искомой функции . Тогда , и уравнение примет вид . Это - уравнение Бернулли; пусть z = uv, тогда , , ,

следовательно, . Относительно y(x) - это уравнение . Мы можем последовательно находить и так далее, однако в этом нет необходимости. Так как мы решаем задачу Коши, то из начального условия

при x = 1 можно определить и знак частного решения, и значение постоянной C₁: . Теперь . Из условия при x = 1 находим C₂: ; из условия y = 3 при x = 1 находим : . Окончательный ответ: .

14.4.2.3. Уравнение, не содержащее в явном виде независимую переменную x.Порядок уравнения , не содержащего явно x, может быть понижен на 1 с помощью красивого искусственного приёма, который заключается в том, что вводится новая функциональная зависимость от y: . Старшие производные y по xвычисляются по правилу дифференцирования сложной функции:

Аналогично,

Также находятся следующие производные, и всегда k -ая производная y по x выражается через k-1 -ую производную p по y. В случае уравнения второго порядка в результате таких преобразований получим , т.е. уравнение первого порядка (в котором y выступает как аргумент, p(y) - как неизвестная функция). После нахождения решения p = p(y, C₁) этого уравнения решается уравнение , решение которого y = y(x, C₁, C₂) будет общим решением исходного уравнения.

Примеры: 1. Задача Коши .

Переменная x явно в уравнение не входит, поэтому полагаем , , тогда . Просто сократить на p это уравнение нельзя, так как можно потерять семейство решений , поэтому рассматриваем два случая:

1. ;

2. Это - уравнение с разделяющимися переменными: . Получено уравнение , решаем его:

. Это общее решение уравнения, в данном случае оно включает в себя решение

y = C при C₂ = 0. Находим значения постоянных, при которых удовлетворяются начальные условия: из . Далее, из следует, что , т.е. C₂ = 0. Частное решение - , т.е. y = 2.

Пример 2.

Решение:

. Интеграл от дифференциала в левой части этого равенства вообще не берётся, поэтому проверим, не упростится ли задача, если использовать начальные условия. Так как при x = 0 должно быть , то получим . Поэтому частное решение должно удовлетворять уравнению . Находим : . Ответ: решение задачи Коши .

14.4.2.4. Применение интегрируемых комбинаций.Иногда удаётся заметить, что в уравнении правая часть является производной некоторой функции , т.е. уравнение имеет вид . Интегрируя по x, получим уравнение, порядок которого на единицу меньше порядка исходного уравнения (так называемый первый интеграл уравнения): .

Пример: . Если переписать это уравнение в виде и сообразить, что справа стоит производная функции , то получим , откуда . Это уравнение не содержит явно , поэтому