Составление канонического уравнения гиперболы по условиям, которые её определяют

При составлении канонического уравнения гиперболы важно знать, где расположены фокусы гиперболы.

4.8.1 Составление уравнения гиперболы по координатам его вершин (длине действительной оси) и координатам фокусов ( фокальному расстоянию)

Задача 31 Составить уравнение гиперболы, если ее вершины находятся в точках А(-3;0) и С(3;0), а фокальное расстояние равно 10.

Решение

1 Т.к.вершины гиперболы ,тогда уравнение гиперболы имеет вид:

2 Найдем длину действительной оси АС:

, т.е.

3 Найдем полуфокальное расстояние

По условию:

4 Найдем длину мнимой полуоси по формуле:

5 Подставим a и b в уравнение гиперболы, получим:

Задача 32 Составить уравнение гиперболы, фокусы которого находятся в точках F₁(0;-9) и F₂(0;9), а действительная ось равна

Решение

1Т.к.фокусы гиперболы ,то действительная ось и уравнение гиперболы имеет

вид:

.

2 Найдем длину действительной оси:

по условию задачи

3 Найдем фокальное расстояние:

4 Найдем длину мнимой полуоси по формуле:

5 Подставим a и b в уравнение гиперболы, получим:

4.8.2 Составление уравнения гиперболы по координатам его вершин ( длине действительной оси) и эксцентриситету

Задача 33 Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси ОХ, если длина действительной оси равна 12, а эксцентриситет .

Решение

1 Т.к.фокусы гиперболы ,тогда уравнение гиперболы имеет вид:

2 Найдем длину действительной оси :

по условию задачи

3 Найдем полуфокальное расстояние

По условию , воспользуемся определением эксцентриситета .

Имеем: подставив в полученное равенство значение а, получим:

4 Найдем длину мнимой полуоси по формуле:

5 Подставим a и b в уравнение гиперболы, получим:

Задача 34Составить уравнение гиперболы с фокусами на оси ох, если длина ее мнимой оси равна 8 и эксцентриситет .

Решение

1Т.к.фокусы гиперболы ,тогда уравнение гиперболы имеет вид:

2 Найдем длину мнимой оси

По условию задачи

3 Найдем длину действительной оси

По условию , воспользуемся определением эксцентриситета , где

,т.к. ,то .

Имеем: . Возведем обе части равенства в квадрат

. Воспользуемся основным свойством пропорции:

4 Подставим a и b в уравнение гиперболы, получим:

4.8.3 Составление уравнения гиперболы по координатам ее фокусов (расстоянию между фокусами) и эксцентриситету

Задача 35 Составить уравнения гиперболы, фокусы которой лежат на оси ох, расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет .

Решение

1Т.к.фокусы гиперболы ,то а –действительная ось и уравнение гиперболы имеет вид:

.

2 Найдем полуфокальное расстояние:

по условию задачи

3 Найдем действительную полуось:

по условию , воспользуемся определением эксцентриситета .

Имеем: подставив в полученное равенство значение с, получим:

4 Найдем длину мнимой полуоси по формуле:

5 Подставим a и b в уравнение гиперболы, получим:

Задача 36 Составить уравнение гиперболы, фокусы которой находятся в точках F₁(0;-5), F₂(0;5), а эксцентриситет

Решение

1Т.к.фокусы гиперболы ,то b –действительная ось и уравнение гиперболы имеет вид:

.

2 Найдем полуфокальное расстояние:

по условию задачи F₁(0;-5), F₂(0;5),тогда

3 Найдем действительную полуось:

по условию , воспользуемся определением эксцентриситета .

Имеем: подставив в полученное равенство значение с, получим:

4 Найдем длину мнимой полуоси по формуле:

5 Подставим a и b в уравнение гиперболы, получим: