Основные элементы гиперболы

4.7.1 Эксцентриситет гиперболы

Эксцентриситетомгиперболы называется отношение полуфокального расстояния к действительной полуоси и обозначается .

Если (F₁,F₂) ОХ, то (4.6)

если (F₁,F₂) ОУ, то (4.6.1)

4.7.2 Фокальные радиусы

Фокальными радиусами точки М гиперболы называются отрезки прямых, соединяющих эту точку с фокусами и .

Т.к. гипербола имеет две ветви, то разделяют фокальные радиусы точек правой и фокальные радиусы точек левой ветвей (рис. 31, 32).

Рис.32

Рис. 32

Фокальные радиусы точки М правой ветви гиперболы (рис.31) вычисляются по формулам

(4.7)

Фокальные радиусы точки М левой ветви гиперболы (рис.32) вычисляются по формулам

(4.7.1)

4.7.3 Директрисы гиперболы

Директрисамигиперболы называются прямые параллельные мнимой оси и отстоящие от неё на расстояние , если (F₁,F₂) ОХ и , если (F₁,F₂) ОУ.

Уравнения директрис:

(рис.33) (4.8)

или (рис. 34) (4.8.1)

Директрисы обозначаются (рис.33,34)

Рис.33

Рис.34

4.7.4 Касательная к гиперболе

Касательной к гиперболе в точке М₀ называется предельное положение секущей М₀М при М М₀ по гиперболе.

Уравнения касательных к гиперболе в точке( ):

, если (F₁,F₂) ОХ (4.9)

, если (F₁,F₂) ОУ (4.9.1).

4.7.5 Диаметры гиперболы

Прямая проходящая через середины параллельных хорд гиперболы, называется ее диаметром.

Все диаметры гиперболы проходят через ее центр (рис.35, 36 )

Рис.35

Рис.36

4.8Решение задач на определение основных элементов гиперболы

Задача 29Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет гиперболы, заданной уравнением . Вычислить длины фокальных радиусов точки .

Решение

1 Запишем каноническое уравнение гиперболы, разделив обе части на 20, получим

2 Найдем полуоси гиперболы

.

3 Найдем координаты фокусов гиперболы

.

Тогда .

Найдем эксцентриситет гиперболы

Фокусы эллипса лежат на оси ОХ, тогда воспользуемся формулой (9)

Вычислим длины фокальных радиусов

Т.к. точка М лежит на левой ветви гиперболы, то при вычислении и

необходимо воспользоваться формулами (10.1)

Задача 30Записать уравнения асимптот и директрис гиперболы

1 Запишем каноническое уравнение гиперболы, разделив обе части на 36, получим

2 Найдем полуоси гиперболы

.

3 Составим уравнения асимптот по формулам (7)

.

4 Составим уравнения директрис

По формуле (9) найдем эксцентриситет гиперболы

По формуле (11) составим уравнения директрис

Ответ: уравнения асимптот : ,

уравнения директрис: