Каноническое уравнение гиперболы

Гипербола. Уравнения гиперболы. Исследование уравнения гиперболы

Определение гиперболы

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек, называемых фокусами (F₁, F₂) есть величина постоянная равная 2a, меньшая расстояния между фокусами (2c).

Каноническое уравнение гиперболы

Для составления уравнения гиперболы воспользуемся общей структурой составления уравнения линии на плоскости.

1 Обратимся к определению гиперболы. Оно определяет гиперболу как геометрическое место точек, удовлетворяющих определенным условиям.

2 Рассмотрим гиперболу в декартовой системе координат таким образом, что

(F₁, F₂) OX. Точка (0; 0) делит отрезок F₁F₂ пополам. |F₁, F₂|- фокальное расстояние, |F₁, F₂|=2с, тогда координаты точек F₁ и F₂ будут соответственно (-c;0) и (c;0) (рис.19).

Рис.19

3Возьмем на гиперболе произвольную точку M (x, y).

4Составим математическую модель задачи.Исходя из условий, определяющих гиперболу (см. «Определение гиперболы») имеем:

||F₁M|-|F₂M||=2a(*)

5Запишем, полученное уравнение (*) в координатной форме.

Выразим длины отрезков F₁MиF₂M по формуле расстояния между двумя точками:

Подставим полученные значения в уравнение (*):

(**)

Это и есть уравнение гиперболы в выбранной системе координат.

Расстояния F₁MиF₂M называются фокальными радуисами и обозначаются соответственно r₁ и r₂. Из уравнения (2) имеем:

Упростим полученное уравнение (**).

Раскроем модуль:

Перенесем один из корней в правую часть уравнения, получим:

Возведем в квадрат обе части, получим:

Перенесем слагаемые, не содержащие квадратный корень в левую часть

Приведем подобные слагаемые

Сократим на 4 обе части уравнения, получим

Возведем снова в квадрат, получим:

слагаемые с х и у перенесем в правую часть, свободные члены в левую

Приведем подобные слагаемые, общие множители вынесем за скобки

Так как по условиям, определяющим гиперболу , то положительная величина; ее принято обозначать через b², то есть .

Подставим в уравнение (***), получим

Разделив обе части на a²b², получим:

(4.1)

где положено

Уравнение (4.1) называют каноническим уравнением гиперболы.