Корень n-й степени, его свойства.

Арифметическим корнем n-й степени из числа а называют неотрицательное число , n-я

степень которого равна а.

Обозначается арифметический корень n-й степени из числа а

,

где n- показатель корня,

а- подкоренное выражение.

Знак называют еще радикалом.

Арифметический корень второй степени называется корнем квадратным и обозначается √,

арифметический корень третьей степени называется кубическим корнем о обозначается

Например :

а) и 2≥0;

б) и 3≥0;

в)

Из определения арифметического корня n-й степени следует, что при четом n подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю, а значит и значение такого корня тоже неотрицательно, например:

арифметический корень 4-й степени из числа -81 не существует, так как ни одно число в четвертой степени не даст -81 ( при возведении в четную степень значение выражения всегда неотрицательно).

При нечетном показателе корня подкоренное выражение может быть отрицательным, и тогда минус может быть вынесен за знак коня.

Например:

Уравнение хⁿ=а.

Уравнение хⁿ=а при нечетном n имеет единственное решение х= .

Например : х³=-125;

х= ;

х=- ;

х=-5.

Для наглядности сделаем проверку:

(-5)³=-125;

-125=-125- верно.

Ответ : х=-5.

Уравнение хⁿ=а при четном n имеет и положительном а имеет два корня

х=± .

Например:

х⁴=16;

х₁= ; х₂=- ;

х₁=2; х₂=-2.

Можно убедиться при проверке, что 2⁴=16 и (-2)⁴=16.

Ответ : ±2.

Иногда нужно применить такое свойство арифметического корня n-й степени:

|х|, если n четно;

х, если n нечетно.

х, если х≥0;

Вспомним, что |х|= -х, если х<0.

Например :

.

Так как <0, следовательно

.