Понятие корня степени N

Корнем степени n из действительного числа a, где n - натуральное число, называется такое действительное число x, n-ая степень которого равна a.

Корень степени n из числа a обозначается символом . Согласно этому определению .

Нахождение корня n-ой степени из числа a называется извлечением корня. Число аназывается подкоренным числом (выражением), n - показателем корня. При нечетном n существует корень n-ой степени для любого действительного числа a. При четном n существует корень n-ой степени только для неотрицательного числа a. Чтобы устранить двузначность корня n-ой степени из числа a, вводится понятие арифметического корня n-ой степени из числа a.

Нам известны следующие свойства арифметического квадратного корня: если a 0 и b 0, то если a 0 и b>0, то Аналогичными свойствами обладает арифметический корень n-й степени и при n>2.

Теорема 1: Если a 0 и b 0, то .

Доказательство

Пусть a 0 и b 0. Тогда каждое из выражений и имеет смысл. Докажем, что выполняются условия: 1) и 2) . Значение выражеения неотрицательно, так как по определению арифметического корня и . Кроме того, по свойству степени произведения . Значит, по определению арифметического корня n-й степени верно равенство .

Доказаннная теорема распространяется на случай, когда число множителей под знаком корня больше двух. Например, если a 0, b 0 и c 0, то . Действительно, . Таким образом, арифметический корень n-й степени обладает свойством:

корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней этих множителей.

Теорема 2: Если a 0 и b > 0, то .

Доказательство проводится аналогично доказательству теоремы 1. Итак, справедливо еще одно свойство арифметического кореня n-й степени:

корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.

Поменяв местами в каждом равенстве и правые и левые части, получим равенства, выражающие правила умножения и деления арифметических корней n-й степени: , где a 0 и b 0. , где a 0 и b > 0. Приведем примеры применения этих свойств:

Пример 1	Найдем значение выражения .
	По теореме о корне из произведения имеем: .

Пример 2	Найдем значение выражения .
	Имеем: .

Пример 3	Найдем значение выражения .
	Пользуясь теоремой о корне из дроби, получаем: .

Пример 4	Найдем значение выражения .

Пример 5	Найдем значение выражения .