Собственные числа и собственные вектора матриц.
1. Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы 
Решение
1 способ
Пусть дана матрица
Найдем собственные числа этой матрицы, путем решения степенного уравнения
Найдем собственные вектора
Поскольку матрицы коэффициентов соответствующих уравнений для поиска собственных векторов имеют ранг 2, то решение системы ищем в виде векторного произведения линейно независимых строк матриц
Сделаем проверку
2 способ
Найдем собственные числа и собственные вектора с помощью встроенных функций MathCad
И сделаем свреку с аналитическим решением
2. Приведите квадратичную форму
к каноническому виду ортогональным преобразованием. Запишите формулы перехода от старых переменных к новым и канонический вид формы в новых переменных.
Решение
Пусть дана квадратичная форма
Согласно теореме к каноническому виду ее можно привести, сделав замену 
, где 
– матрица собственных векторов матрицы коэффициентов квадратичной формы 
. Тогда матрица 
будет диагональной, на диагонали будут стоять собственные числа матрицы , которые и будут коэффициентами канонического вида квадратичной формы.
