Задание №2

Операции с векторами, аналитическая геометрия.

1. Даны два вектора и . Найти их длины , ; сумму ; линейную комбинацию ; скалярное произведение ; векторное произведение ; угол j ( в градусах) между векторами и .

Решение

- длины векторов

- скалярное произведение

- векторное произведение

угол между векторами

2. Найдите координаты вектора в базисе , если он задан в базисе , а старый и новый базисы связаны соотношениями .

Решение

Пусть задан вектор и матрица прехода от старого базиса к новому

По условию задачи имеют место равенства:

Тогда координаты вектора а в новом базисе можно найти по формуле .

Координаты нового вектора:

Ответ: (4 -12 -12).

3. Найдите угол (в градусах) между плоскостями .

Решение

По условию задания плоскости, коэффициенты перед переменными есть координаты нормали, тогда угол между плоскостями будет равен углу между задающими нормалями этих плоскостей.

Ответ: 61.086

4. Найти точку пересечения прямой и плоскости .

Решение

Пусть задана прямая в каноническом виде , тогда в параметрическом виде она будет определяться следующим образом:

Уравнение плоскости имеет вид:

Найдем их пересечение

Ответ: (-4 0 1)

5. Найти объём (V), площадь основания АВС (S) и высоту пирамиды (h) с вершинами в точках , опущенную из вершины D на грань ABC.

Решение

Пусть даны точки

Найдем вектора, на которых строится пирамида

По формулам найдем искомые величины

Ответ: объем равен 12.333; площадь основания равна 6.708; высота пирамиды равна 5.516.