Степенные ряды. Основные понятия и определения

Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды.

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида:

. (2.2.1)

где - постоянные, называемые коэффициентами ряда; x₀ - известное число.

При ряд приобретает вид

, (2.2.2)

При x=x₀ряд превращается в свой первый коэффициент . Тогда сумма ряда равна этому числу, и он сходится. Поэтому точка x=x₀называется центром сходимости степенного ряда (2.2.1). Таким образом, степенной ряд всегда сходится хотя бы в одной точке. Сделав замену x-x₀=Х, можно свести общий случай степенного ряда (2.2.1) к частному случаю (2.2.2). В дальнейшем мы будем в основном рассматривать ряды типа (2.2.2). Этот ряд всегда сходится по крайней мере в точке х=0.

Придавая х различные числовые значения, будем получать различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися. Множество значений х, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Очевидно, что частичная сумма степенного ряда

(2.2.3)

является функцией переменной х. Поэтому и сумма ряда является некоторой функцией переменной х, определенной в области сходимости ряда:

. (2.2.4)