Функциональные ряды

Определение. Рассмотрим последовательность функций , имеющих общую область определения D. Ряд вида

, (2.1.1)

называется функциональным.

При каждом частном значении x=x₀ такой ряд превращается в числовой ряд, который может сходиться или расходиться. Множество всех значений аргумента x, при которых функциональный ряд превращается в сходящийся числовой ряд, называется областью сходимости функционального ряда.

Пример 1.

Область определения всех этих функций: . Все члены ряда >0 Þ ряд знакоположительный. Для нахождения области сходимости применим радикальный признак Коши:

, т.к. не зависит от п.

Ряд сходится, если , т.е.

;

Ряд расходится, если , т.е. ;

При х=0 получим числовой ряд 1+1+1+…+…, который расходится.

Таким образом, областью сходимости является промежуток (рис.2.1.1).

Например, при х=1 получим числовой ряд Это геометрическая прогрессия со знаменателем Þ сходится. При х=-1 ряд имеет вид Это прогрессия со знаменателем Þ расходится.

Пример 2. . ООФ: . Раскроем модуль.

При - гармонический ряд, расходится.

При - ряд Лейбница, сходится.

Область сходимости (рис.2.1.2).

Частичная сумма функционального ряда

Это функция от х, т.к. при любом х будет своё выражение . Последовательность частичных сумм при каждом х будет иметь свой предел, следовательно:

сумма сходящегося функционального ряда является некоторой функцией аргумента x, определённой в области его сходимости. Символическая запись

означает, что S(x) является суммой ряда в области D.

По определению сумма ряда S(x) является пределом последовательности его частичных сумм при :

(2.1.2)

Для сходящихся рядов справедливо равенство:

(2.1.3)

где - остаток ряда.

Из выражения (2.1.3) следует равносильность предельных соотношений :

(2.1.4)