Приведём без доказательства один из признаков сходимости несобственных интегралов I рода.
Теорема. Если на промежутке 
для непрерывных функций удовлетворяется неравенство 0 
, то из сходимости интеграла 
следует сходимость интеграла 
, из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .
Пример.Исследовать сходимость интеграла 
. Подынтегральная функция 
в промежутке интегрирования меньше чем 
, а интеграл 
является сходящимся. Следовательно, данный интеграл также сходится.
Несобственный интеграл II рода (интеграл от разрывной функции)
Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке 
и имеет бесконечный разрыв в точке х = b . Несобственным интегралом II рода 
называется конечный предел, если он существует, интеграла 
. Таким образом, по определению,
. (7.18)
Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл сходится. В противном случае несобственный интеграл расходится.
Если функция f(x) имеет разрыв в точке с на промежутке [a, b], то несобственный интегралом II рода определяется формулой
.
В этом случае интеграл слева сходится, если оба несобственных интегралов справа являются сходящимися.
Примеры.Вычислить или установить сходимость несобственного интеграла:
1. 
. При х = 1 функция 
терпит бесконечный разрыв.
= 
2. 
. При х = 0 функция 
терпит бесконечный разрыв.
= 
,
интеграл расходится.
Примеры для самостоятельного решения
Вычислить несобственные интегралы:
1) 
. 2) 
. 3) 
. 4) 
.
5) 
. 6) 
.
