Несобственные интегралы

Определённый интеграл называют собственным интегралом, если промежуток интегрирования конечен, а подынтегральная функция f(x) непрерывна на этом отрезке. В данном разделе рассматриваются так называемые несобственные интегралы, т.е. определённый интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования, либо определённый интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей в этом интервале бесконечный разрыв.

Несобственный интеграл I рода (интеграл с бесконечным

промежутком интегрирования)

Пусть подынтегральная функция f(x) непрерывна и ограничена для всех . Несобственный интегралом первого рода обозначается символически как . Несобственным интегралом от функции f(x) на бесконечном промежутке называется предел, если он существует, при определённого интеграла , т.е.

= . (7.21)

Если этот предел существует и он конечен, то несобственный интеграл сходится. Если указанный предел не существует или он бесконечен, то интеграл называется расходящимся.

Аналогичным образом определяется несобственный интеграл на промежутке

= . (7.22)

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой

= + , (7.23)

где с – произвольное число. В данном случае интеграл слева сходится в том случае, когда сходятся оба интеграла справа.

Примеры.Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

1. = , интеграл расходится;

2. = = =

= ;

3. = , интеграл расходится, так как при предел не существует.

4. Определить площадь фигуры, ограниченной кривой и осью Ох = =

= .

Рис. 7.19.