Пусть имеется тело объема V. Площадь любого поперечного сечения тела S, известна как непрерывная функция S = S(x). Разобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими через точки хi разбиения отрезка [a, b]. Т.к. на каком- либо промежуточном отрезке разбиения [xi-1, xi] функция S(x) непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соответственно Mi и mi.
Рис. 7.18
Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры с образующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будут соответственно равны MiDxi и miDxi здесь Dxi = xi+1 - xi.
Произведя такие построения для всех отрезков разбиения, получим цилиндры, объемы которых равны соответственно 
и 
.
При стремлении к нулю шага разбиения l, эти суммы имеют общий предел:
.
Таким образом, объем тела может быть найден по формуле:
. (7.13)
Недостатком этой формулы является то, что для нахождения объема необходимо знать функцию S(x), что весьма проблематично для тел сложной формы.
