Пусть в прямоугольных координатах задана плоская кривая АВ, уравнение которой 
, где 
. Если 
и 
непрерывны, то такие кривые называются гладкими. Под длиной дуги АВ понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число сторон ломаной неограниченно возрастает, а длина набольшей из сторон ломаной стремится к нулю.
Рис. 7.16.
Длина ломаной линии, которая соответствует дуге M0Mn , может быть найдена как сумма 
, где 
- длина стороны ломаной на участке 
(рис. 7.16). Тогда длина дуги M0Mn равна 
.
Из геометрических соображений: 
, но в то же время 
.
Тогда 
. Т.е. длина дуги M0Mn при изменении х от а до b равна
. (7.9)
Пример. Вычислить длину дуги кубической параболы 
, находящейся между точками 
и 
.
Так как 
, то 
. Поэтому искомая длина дуги согласно формуле (7.9) определяется следующим образом
= 
.
Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной функции, из формулы (7.9) получаем
=
= 
,
где х = x(t), a = x(α) и у = у(t), b=y(β). Таким образом, если уравнение кривой задано в параметрической форме, то длина кривой находится по формуле
. (7.10)
Пример. Найти длину первой арки циклоиды
Находим производные 
и 
. По формуле (7.10) длина арки циклоиды
=
= 
= 
.
Если задана пространственная кривая, и х = x(t), у = y(t) и z = z(t), то
. (7.11)
