Полярные координаты

В некоторых случаях вычисление площадей криволинейных фигур удобно проводить в полярных координатах.

Полярная система координат определяется заданием точки О (полюс)луча Ор, исходящего из точки О (полярной оси) и масштаба для измерения длины. Положение точки М на плоскости определяется в полярной системе координат двумя числами: полярным радиусом (рис. 7.12), выражающим длину отрезка ОМ в выбранном масштабе, и полярным углом φ = .

Рис. 7.12.

Из рис. 7.10 видно, что независимо от расположения точки М на плоскости имеют место следующие формулы перехода от полярных координат ( ) к декартовым (х, у) : , ;

и от декартовых к полярным: , .

Найдём площадь криволинейного сектора.Пусть кривая АВ за­дана в полярных координатах уравнением , , причем функция непрерывна и неотрицательна на отрезке [α, β]. Плоскую фигуру, ограниченную кривой АВ и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы α и β, будем называть кри­волинейным сектором (рис. 7.13). Площадь S криволинейного сек­тора определяется формулой

. (7.8)

Рис. 7.13.

Доказательство. Разобьем произвольно отрезок [α, β] иа п частей точками ол , выберем на каждом частичном отрезке [ ] произвольно точку ( ) и построим круговые сек­торы с радиусами . В результате получим веерообразную фигуру, площадь которой приближенно равна площади S криволи­нейного сектора:

,

где . С другой стороны, площадь веерообразной фигуры является интегральной суммой для интеграла (7.8). Так как функция непрерывна на отрезке [α, β ], то предел этой суммы при существует и равен интегралу (7.8).

Следовательно, и площадь криволинейного сектора численно равна этому определенному интегралу:

.

Пример 1.Вычислить площадь фигуры, ограниченной поляр­ной осью и первым витком спирали Архимеда: , где а — положительное число (рис. 7.12).

Рис. 7.12.

Решение. При изменении от 0 до 2π полярный радиус описывает кривую, ограничивающую криволинейный сектор ОАВС. Поэтому по формуле (7.8) имеем

.

Расстояние от точки С до полюса равно . Поэтому круг радиуса ОС имеет площадь π ∙OC² = 4 π³ a² = 3 ∙ , т. е. площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда, равна 1/3площади круга с радиусом, равным наибольшему из полярных радиусов витка. К этому вы­воду пришел еще Архимед.

Пример 2.Второй закон Кеплера (закон площадей) о движении планет солнечной системы гласит: площадь, описываемая радиусом-вектором планеты, проведенном из центра Солнца, возрастает пропорционально времени.

Пользуясь этим законом площадей, покажем, что скорость планеты V_П в ближайшей к Солнцу точке орбиты П (перигелий) будет наибольшей, а в наиболее удалённой от Солнца точке А (афелий) – скорость будет наименьшей (рис. 7.15)

Рис. 7.15.

Рассмотрим перемещение планеты в окрестностях точек А (афелий) и П (перигелий), по закону Кеплера площади секторов и равны между собой, т.е.

,

где - площадь сектора, опирающегося на дугу , длина этой дуги равна , аналогично - площадь сектора, опирающегося на дугу , длина этой дуги равна .

Из формулы для площади криволинейного сектора (7.8) следует, что

или , т.е. . Здесь и перемещение планеты за один и тот же промежуток времени в окрестности точек А и П орбиты. Разделим предыдущее равенство на промежуток времени :

.

Отношение перемещения планеты ко времени есть скорость планеты в точке А, аналогично отношение перемещения ко времени есть скорость планеты в точке П, т.е.

, .

В результате или , откуда следует, что

.