Применение определённого интеграла

7.4.1. Вычисление площадей плоских фигур

Прямоугольные координаты

Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен выше оси Ох (см. рис. 7.4), т.е. f(x) > 0,

Рис. 7.4

то площадь имеет знак “+“ и в этом случае искомая площадь определяется формулой

. (7.5)

Если график функции f(x) расположен ниже оси Ох (см. рис. 7.3), т.е. f(x) < 0,

Рис. 7.5

то площадь имеет знак “ - ” и .

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y = f₁ (x) и y = f₂ (x) (при условии f₂ (x) ≥ f₁ (x) см. рис. 7.6), прямыми x = a и x = b может быть найдена с помощью определенных интегралов

. (7.6)

Рис. 7.6.

Примеры.

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = sin x и осью Ох при . Построим данную фигуру (рис. 7.7)

Рис. 7.7.

Используя формулу (7.5), находим искомую площадь фигуры

(кв. ед.)

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями у = х, , х = 2.

Изобразим данную фигуру (рис. 7.8)

Рис. 7.8.

Находим пределы интегрирования: точка пересечения линий у = х, имеет абсциссу , следовательно, промежуток интегрирования - . По формуле (7.6) определяем площадь фигуры

(кв. ед.)

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченную линями и .

Построим фигуру, площадь которой необходимо вычислить (рис. 7.9).

Рис. 7.9.

Находим точку пересечения линий и . Решаем уравнение

, имеем или , откуда . Из рисунка видно, что пределами интегрирования являются . Определяем площадь фигуры, используя формулу (7.6)

(кв. ед.)

Параметрические координаты

Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметри-чески

,

прямыми и и осью Ох, то её площадь определяется по формуле

, (7.7)

где α и β определяются из равенств и .

Примеры.

1. Найти площадь фигуры ограниченной эллипсом, который задан в параметри-ческой форме

.

Изображаем фигуру, площадь которой необходимо определить (рис. 7.10)

Рис. 7.10.

Найдём четвёртую часть площади S, расположенной в первой четверти ко-ординатной плоскости (на рисунке она окрашена серым цветом). Здесь х изменяется от 0 до а и, следовательно, t изменяется от π / 2 до 0. По формуле (7.7) находим

=

= . Таким образом, . Значит .

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одно аркой циклоиды и осью Ох.

Циклоида есть траектория точки, расположенной на ободе колеса радиуса а , при равномерном качении колеса по оси Ох. При одном обороте колеса центр колеса переместится на расстояние (рис. 7.11).

Рис. 7.11.

Уравнение циклоиды в параметрической форме имеет вид

,

При изменении параметр t изменяется в пределах . По формуле (7.7) находим искомую площадь

=

= =

= .