Интегрирование некоторых иррациональных функций

Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные функции. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая преобразовывает эту функцию к рациональной форме, интеграл от которой может быть найден.

Интеграл вида , где n- натуральное число.

С помощью подстановки функция рационализируется.

Тогда

Пример.

Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение. Проиллюстрируем это на примере.

Пример.

Интегралы вида .

Существует несколько способов интегрирования такого рода функций. В зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала, предпочтительно применять тот или иной способ.

Как известно, квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата может быть приведен к виду:

Таким образом, интеграл приводится к одному из трех типов:

Возможны три способа интегрирования таких функций.

1). Тригонометрическая подстановка

Интеграл вида подстановкой или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sin t или cos t.

Пример.

Интеграл вида подстановкой или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sin t и cos t.

Пример:

Интеграл вида подстановкой или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sin t или cos t.

Пример.

2. Подстановки Эйлера

1. Если а > 0, то интеграл вида рационализируется подстановкой .

2. Если a < 0 и c > 0, то интеграл вида рационализируется подстановкой .

3. Если a < 0 , а подкоренное выражение раскладывается на действительные множители a (x – x₁)(x – x₂), то интеграл вида рационализируется подстановкой .

Отметим, что подстановки Эйлера неудобны для практического использования, т.к. даже при несложных подынтегральных функциях приводят к весьма громоздким вычислениям.

3. Метод неопределенных коэффициентов.

Рассмотрим интегралы следующих трех типов:

где P(x) – многочлен, n – натуральное число.

Причем интегралы II и III типов могут быть легко приведены к виду интеграла I типа.

Интегралы типа I можно вычислять, пользуясь формулой

где Q(x)- некоторый многочлен, степень которого ниже степени многочлена P(x), а l - некоторая постоянная величина.

Для нахождения неопределенных коэффициентов многочлена Q(x), степень которого ниже степени многочлена P(x), дифференцируем обе части данного выражения, затем умножают на и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, определяют l и коэффициенты многочлена Q(x).

Данный метод выгодно применять, если степень многочлена Р(х) больше единицы. В противном случае можно успешно использовать методы интегрирования рациональных дробей, рассмотренные выше, т.к. линейная функция является производной подкоренного выражения.

Пример.