Универсальная тригонометрическая подстановка

Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла вида , где R – рациональная функция от переменных sinx и cosx.

Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.

Тогда

Таким образом:

Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой.

Пример.

Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой бывает весьма громоздким.

Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.

Пример.

На практике применяют и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств подынтегральной функции. Иногда удобны следующие правила:

1) если функция R является нечетной относительно cosx. В этом случае удобно воспользоваться подстановкой sin x = t

Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку sin x = t .

Пример.

Вообще говоря, для применения этого метода необходима только нечетность функции относительно косинуса, а степень синуса, входящего в функцию может быть любой, как целой, так и дробной.

2) если функция R является нечетной относительно sinx. В этом случае применяется подстановка cos x = t

Пример.

= = =

3) если функция R четная относительно sinx и cosx. В этом случае интеграл рационализуется подстановкой tgx = t. Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид