Проведем прямые l1 и l2, параллельные мнимой оси гиперболы В1В2. Пусть l1ÇОх=D1(–d;0), l2ÇОх=D2(d;0). Пусть М(х; у) – произвольная точка линии (для определенности в первой координатной четверти).
Найдем отношения ее фокальных радиусов r1 и r2 к расстояниям МК1, МК2 до прямых l1и l2 соответственно (см. рис.).
= 
. Если 
,то 
(отношение сохраняет постоянное значение, равное эксцентриситету). В этом случае прямая l1 имеет уравнение 
. Аналогично 
= 
. Если ,то 
, а прямая l2 имеет уравнение 
.
Аналогичный вывод можно получить относительно точек, расположенных в других координатных четвертях.
Определение. Прямые, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящие от нее на расстоянии 
, называются директрисами гиперболы.
Директрисы гиперболы располагаются между вершинами и не пересекают ее, т.к. для гиперболы ε>1, то 
.
Свойство 110. Отношение фокального радиуса любой точки гиперболы к расстоянию до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы.
Это свойство гиперболы можно принять в качестве ее определения: Гиперболой называется геометрические место точек М плоскости, для которых отношение ε расстояния r до точки плоскости F к расстоянию d до прямой l есть величина постоянная, большая 1.
