Определение. Асимптотой называется прямая, к которой стремится кривая в бесконечно удаленной точке.
Сопоставим уравнению гиперболы, разрешенному относительно у, т.е. 
уравнение прямой 
. Назовем соответствующими точки N(х; У) и М(х; у), расположенные соответственно на прямой и гиперболе, имеющие одну ту же абсциссу х. Очевидно, что У>у. Покажем, что расстояние MN между точками, равное разности У–у ординат, при неограниченном возрастании х, убывая, стремится к нулю: откуда
MN=У–у= 
= 
= 
.
Следовательно, когда точка М, двигаясь по гиперболе в первой и третьей координатных четвертях, удаляется в бесконечность, то расстояние от нее до прямой 
стремится к нулю. Вследствие симметрии гиперболы относительно оси ординат получим вторую прямую 
.
Свойство 60. Прямые 
служат асимптотами гиперболы.
Свойство 70. Если в (4) а=b, то получим уравнение 
равносторонней гиперболы.Ее асимптотами служат биссектрисы координатных углов 
.
Если гипербола определяется каноническим уравнением: 
или 
, то она называется сопряженной. Ее фокусы расположены на оси ординат, а разность расстояний от произвольной точки гиперболы М до фокусов равна 2b.
Свойство 80. Сопряженная гипербола имеет те же асимптоты, что и исходная.
