Геометрические свойства гиперболы (исследование канонического уравнения).

Свойство 1⁰. Точки пересечения гиперболы, заданной уравнением (4), с осями координат:

1) с осью абсцисс: , отсюда . Получили точки А₁(–а; 0), А₂(а; 0).

2) с осью ординат: , отсюда , т.е. пересечения нет.

Точки А₁ и А₂ называются вершинами гиперболы. Отрезок А₁А₂=2а – действительной осью. Если на оси ординат отложить в обе стороны отрезки ОВ₁ и ОВ₂ так, что ОВ₁=ОВ₂=b, то отрезок В₁В₂=2b называется мнимой осью. Величины а и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями. Очевидно, что гипербола не проходит через точку О.

Свойство 2⁰. Оси координат являются осями симметрии гиперболы, заданной уравнением (4), т.к. оно содержит только квадраты текущих координат, т.е. если М(х;у) – точка гиперболы, то точки М₁(–х;у), М₂(х;–у) также принадлежат ей. Ось симметрии, на которой располагаются фокусы, называется фокальной.

Точка О – точка пересечения осей симметрии – является центром симметрии, т.к. уравнению (4) удовлетворяют координаты и точки М₃(–х;–у).Центр симметрии называется центром гиперболы.

Свойство 3⁰. Из уравнения (4) следует, что , т.е. , .

Для построения гиперболы, как и для эллипса, можно построить прямоугольник, образованный прямыми , . Внутри него точек гиперболы нет.

Свойство 4⁰. Рассмотрим точку М(х;у) гиперболы, расположенную в первой координатной четверти. Из уравнения (4) для нее следует: (5).

Очевидно, что при возрастании значения х (от а до +¥) значение у возрастает (от 0 до +¥).

Аналогично во второй четверти: при возрастании значения х от –¥ до 0 значение у убывает до 0 , третьей: при возрастании х от –¥ до 0 значение у возрастает до 0, четвертой: при возрастании х (от 0) значение у убывает от 0.

Свойство 5⁰. Из (5) следует, что форма гиперболы зависит от отношения полуосей : чем больше b, тем гипербола менее сжата к оси абсцисс, и наоборот.