Вывод канонического уравнения гиперболы.

ГИПЕРБОЛА

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух данных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньшая, чем расстояние между фокусами.

Вывод канонического уравнения гиперболы.

Введем обозначения: F₁ и F₂ – фокусы, разность расстояний |F₂М–F₁М|=2а, или F₂М–F₁М=±2а.

F₁F₂=2с (фокусное расстояние), причем по определению 2а<2с или а<с.

Введем прямоугольную систему координат. Ось Ох проходит через точки F₁ и F₂, как показано на рисунке; начало координат О – середина отрезка F₁F₂. Тогда координаты точек: F₁(–с; 0) и F₂(с; 0).

Пусть М(х; у) – произвольная точка гиперболы. Тогда по определению F₂М–F₁М=±2а (1).

Учитывая, что |F₁М|= и |F₂М|= , запишем это условие в координатах:

. (2)

Это и есть уравнение гиперболы в выбранной системе координат. Выполним тождественные преобразования: ,

,

, ,

,

. Разделим обе части равенства на (с²–а²), получим: .

По условию а<с, т.е. разность с²–а² есть положительная величина, ее принято обозначать b², т.е. b²=с²–а² (3). Тогда

(4),

Это каноническое уравнение гиперболы. Очевидно, что гипербола – линия второго порядка.

2. Покажем, что всякая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению (4), принадлежит гиперболе (по определению).

Пусть М₀(х₀; у₀) – точка, гиперболы, координаты которой удовлетворяют уравнению (4), т.е. . Отсюда . Найдем расстояния r₁=F₁М₀ и r₂=F₂М₀ (их называют левым и правым фокальными радиусами соответственно), применив формулу (3):

r₁= ,

аналогично r₂= , т.е.

r₁= r₂= .

(Из условия (3): а<с, из уравнения (4): , т.е. ).

Тогда r₂–r₁= =–2а при х₀<0, r₂–r₁= =2а при х₀>0, т.е. точка М₀ принадлежит гиперболе по определению.