Число математических моделей для описания деформирования реальных горных пород вообще может быть сколь угодно велико, но все они являются различными сочетаниями основных классических моделей - моделей упругого, пластического и идеально вязкого тела.
Упругая модель является простейшей и применяется наиболее часто. Она представляет собой линейно-деформируемую среду, т.е. среду, в которой напряжения и деформации связаны линейными зависимостями. Идеально упругая среда (массив) может быть наглядно представлена структурной схемой в виде пружины (рис.11.1а), характеризуемой определённой жёсткостью (модулем упругости Е), которая растягивается напряжениями s,причём деформации пружины e подчинены физическому закону Гука в соответствии с диаграммой напряжений (рис.11.1б)
s = Е e.(11.1)
Рис 11.1 Упругая модель (модель Гука).
а - структурная схема; б - диаграмма напряжений.
В случае объёмного напряжённого состояния, характерного для массива пород, деформации могут быть определены с помощью уравнений, в которых используются две независимых константы - модуль упругости Е и коэффициент поперечных деформацийv,модуль сдвига может быть вычислен по значениям Еиv.
Следует отметить, что во многих случаях применение упругой модели не требует в качестве обязательного условия способности пород восстанавливать начальные формы и размеры при снятии нагрузок. Если породы при рассмотрении конкретных задач испытывают деформации одного знака, то достаточно, если диаграмма «s - e» при нагружении будет близка к линейной. В этом смысле упругую модель массива также называют линейно-деформируемой средой, причём её свойства в подобных случаях характеризуются модулем деформации, т.е. коэффициентом пропорциональности между напряжениями и деформациями.
Несмотря на простоту выражений и сравнительно малую адекватность подобной модели поведению реальных массивов, упругая модель обладает весьма замечательным свойством - её применение обеспечивает получение верхних максимально возможных значений напряжений и нижнего предела, т.е. минимально возможных значений деформаций для изучаемых объектов.
Для среды, в которой свойства в различных направлениях неодинаковы, могут применяться модели анизотропных упругих сред, из которых наибольшее распространение получила модель трансверсально-изотропной среды.
Такая среда характеризуется постоянством свойств в различных направлениях только для определённым образом ориентированных плоскостей, которые называются плоскостями изотропии. В других направлениях, в частности, в направлении, перпендикулярном к плоскости изотропии, свойства имеют другие значения (рис.11.2). Физической моделью подобной среды может служить книга, где плоскости изотропии - страницы.
Рис.11.2. Схема трансверсально-изотропной модели породного массива.
Применение подобных моделей целесообразно для тонкослоистых осадочных, метаморфических пород, в этом случае деформирование характеризуется с помощью пяти независимых констант (в отличие от двух констант для линейно - деформируемой среды):
Е1; Е2иv1; v2 - соответственно модули упругости и коэффициенты Пуассона для плоскости изотропии и в направлении, перпендикулярном к ней;
G2 - модуль сдвига в направлении, перпендикулярном плоскости изотропии, который в отличие от G1 (модуля сдвига в плоскости изотропии) является независимым и не может быть выражен через Е2 и v2, но может быть определён экспериментально из испытаний специально ориентированных образцов.
Реальным горным породам, особенно в условиях их естественного залегания, обычно свойственна нелинейность связи между напряжениями и деформациями уже при весьма небольших значениях действующих напряжений.
На рис. 11.3 в качестве примера приведены кривые деформирования апатито-нефелиновых и флогопитсодержащих пород, которые проявляют значительную нелинейность при значениях, напряжений, достигающих всего 10—15 % от разрушающих.
Рис. 11.3. Типовые кривые деформирова-ния апатито-нефелиновых руд Хибинских месторождений (а) и флогопит-диопсид-оливиновых руд Ковдорского флогопито-вого месторождения (б).
sсж и eсж — напряжение и деформация, соответствующие моменту разрушения при одноосном сжатии.
Вследствие этого оказалось необходимым разрабатывать модели, учитывающие неупругие, в частности, пластические свойства пород.
Пластическая модель массива позволяет отражать способность пород к пластическим (необратимым) деформациям.
Механизм пластической деформации связан со сдвигами материала по некоторым площадкам, в связи с этим структурную схему идеально пластической среды можно представить в виде элемента трения (рис.11.4).
где К - сцепление (сопротивление сдвигу, не зависящее от величины нормального давления); sn - нормальные напряжения на площадке скольжения; j - угол внутреннего трения.
Условие (11.2) также называют условием предельного состояния; оно положено в основу теории предельного равновесия пород.
Для отражения реологических свойств горных пород в модели вводится вязкий элемент (элемент Ньютона), представляющий собой поршень в цилиндре с вязкой жидкостью. Здесь развитие деформации во времени уподобляется (моделируется) истечению вязкой жидкости сквозь поршень с отверстиями.
Для идеально вязкой модели напряжения пропорциональны скорости деформации
de
s = h ------,(11.3)
dt
где h - коэффициент вязкости.
В геомеханике идеально вязкие модели не находят применения, но вязкий элемент широко используется в различных сочетаниях с упругими и пластическими элементами.
В частности, при сочетании упругих и вязких элементов получают различные модели вязкоупругой среды(рис. 11.5).
Рис. 11.5. Структурные схемы некоторых вязкоупругих моделей.
Если массив горных пород наряду с упругими проявляет ещё и пластические свойства, используют упруго-пластические модели, которые представляют собой сочетание упругих и пластических элементов (рис.11.6).
Рис.11.6. Структурная схема (а) и диаграмма напряжений (б) упруго-пластической модели.
При этом до некоторого предела, определяемого условиями предельного равновесия (11.2), в модели развиваются только упругие деформации, а по достижении этого предела - пластические. В соответствии с этим в массиве пород выделяются упругая и пластическая области.
Особый интерес с точки зрения геомеханики в этих моделях представляет возможность учёта процессов разрушения, что проявляется в спаде нагрузки на диаграмме напряжений после достижения предела прочности пород (рис. 11.7). Физически это связано с изменением механических свойств пород в процессе пластических деформаций , т.е. исследуемая среда в пластической области становится неоднородной.
Рис. 11.7. Диаграммы деформирования пород для различных моделей, учитывающих разрушение.
1 - хрупкой; 2 - упругопластической с ограниченной пластической деформацией; 3 - характеризующейся постепенным снижением сопротивления за пределом прочности.
На рис.11.7 график 1 характеризует идеально хрупкую среду, у которой предел упругости совпадает с пределом прочности пород, по достижении предела прочности пород происходит полное разрушение материала. Если рассматривать горную выработку, то в такой среде вокруг выработки образуются две зоны: упругая и пластическая, причём граница раздела зон одновременно является границей раздела материалов с различными свойствами - исходного и разрушенного (модель исследована докт.техн. наук Ю.М.Либерманом).
Диаграмма 2 на рис.11.7 характеризует среду, у которой между стадиями упругих деформаций и разрушения существует стадия пластических деформаций. Эта модель исследована профессором Н.С.Булычёвым и для точки с деформацией eсжбудет соблюдаться равенство:
eсж = eпр = eу + eпл = П eу ,(11.4)
где П = eпр/eу - показатель, пластичности.
В рассматриваемой среде выделяется три области - упругая, в которой распределение напряжений удовлетворяет закону Гука, пластическая - распределение напряжений происходит в соответствии с условием пластичности (предельного состояния) и разрушенных пород, для которой тоже справедливо условие предельного состояния, но при нулевом сцеплении.
В среде, деформирование которой иллюстрируется диаграммой 3 (рис. 11.7), наблюдается постепенное разрушение материала за пределом прочности, характеризуемое так называемым модулем спада (по аналогии с модулем деформации) М = arc tga’.
