Решение

,

– общее решение данного уравнения.

Для решения задачи Коши найдем константу С. Подставим в общее решение , :

.

Таким образом, решением задачи Коши будет функция

.

Следовательно, интегральная кривая имеет вид

3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

,

(8)

или уравнение вида

.

(9)

Заметим, что уравнение (8) можно привести к виду (9), и наоборот. Действительно, так как , то, умножив обе части уравнения на , будем иметь:

– уравнение вида (9).

Далее будем рассматривать уравнение вида (9). Для его решения необходимо добиться того, чтобы при дифференциале стояли только функции, зависящие от переменной х, а при дифференциале – функции, зависящие от переменной у, а затем получившееся уравнение с разделенными переменными можно будет почленно интегрировать. Заметим, что это необходимо сделать обязательно, так как непосредственно уравнение вида (9) интегрировать крайне сложно.

Пусть ни одна из функций не равна тождественно нулю. Тогда, разделив уравнение (9) на произведение , получим уравнение с разделенными переменными:

, .

(10)

Интегрируя (10) почленно, получаем общий интеграл исходного уравнения (9):

.

(11)

Заметим, что мы делили уравнение (9) на произведение , предполагая, что , . При этом мы могли не учесть другие решения исходного уравнения. Непосредственной подстановкой или необходимо проверить, будут ли еще решения уравнения (9) помимо решения (11).

ПРИМЕР 3

Решить уравнение .