Для того, что бы их предиката получить высказывание, надо взять конкретные значения переменных. Но это не единственный способ
Пусть на множестве Х простых чисел задан предикат А(х)=»Простое число x нечетное»
Поставим перед этим предикатом слово «всякое», тем самым получим высказывание «Всякое число x нечетное» - ложное, т.к. число 2 относится к четным числам
Поставим перед этим предикатом слово «существует», тем самым получим высказывание «Существует число x нечетное» - истинное, т.к., например число 5 – нечетное число.
Таким образом, ставя перед предикатом некоторые слова или словосочетания, можно предикат преобразовать в высказывание. Такие слова словосочетания называются кванторами.
Различают два вида кванторов:
1. Квантор общности — соответствует словам: любой, всякий, каждый и иными словам такого смысла. Обозначается символом «.
2. Квантор существования - соответствует словам: существует, найдется, хотя бы один и иными словам такого смысла. Обозначается символом $.
Предикаты с кванторами можно записать в виде:
(«xÎX)A(x) ($xÎX)A(x)
Действие квантор может распространяться, как на всю формулу, так и на ее часть. Часть формулы, на которую распространяется квантор, называется область действия квантора.
Для установления области действия могут вводиться скобки. Если формула или ее некоторая часть находится непосредственно после квантора, то они входят в зону действия непосредственно и скобки могут быть опущенными.
Переменные называются связанными, если они входят в зону действия квантора, остальные переменные называются свободными.
Кванторы «и $ являются дополнениями и аналогами соответственно логических операций конъюнкции и дизъюнкции. При этом верна формула:
$x A(x)=, которая выражает двойственность
Приведем пример. A(X)=»Число x делится на 5″
Тогда: $ x A(x)=»Найдется число x, которое делится на 5″ – верно.
=»Неверно, что не найдется число x, которое делится на 5″- верно.
Рассмотренная формула позволяет строить отрицания высказываний с кванторами.
Между кванторами и логическими операциями существует тесная связь.
Пусть предикат Р(х) определен на конечном множестве D= {а1а2…, ап}.
Высказывание $aÎD (P(x)) - истинным только в том случае, если истинны одновременно все высказывания Р(а1), Р(а2), …, Р(а„), можно сказать, что должна быть истинной конъюнкция этих высказываний.
Высказывание $aÎDР(х) – истинно в том случае, если истинно хотя бы одно из высказываний Р(а1), Р(а2), …, Р(а„), можно сказать, что должна быть истинной дизъюнкция этих высказываний.
Задание 6-2.Имеются два утверждения:
1. Для лечения любого известного компьютерного вируса имеются программы.
2. Существуют новые (неизвестные) компьютерные вирусы, для лечения которых программы еще не разработаны
Записать их с помощью формул логики предикатов.
Решение. Введем обозначения элементарных формул:
А(х) - известен компьютерный вирус х;
В(х) - для лечения вируса х существует программа.
С помощью логических связок и кванторов можно записать такие формулы как:
ù В(х) - против вируса х нет программы;
«х(А(х)) — любой вирус известен;
$х(ù А(х)) - существуют новые (неизвестные) вирусы;
«x(A(x) ®B(x))- если вирус давно известен, то имеется программа для его лечения;
$х(ù А(х) Ç ù В(х)) — существуют (появились) новые вирусы, для лечения которых программы еще не разработаны.
Если оба заданные утверждения рассматривать как их конъюнкцию, то формально такое предложение может выглядеть так:
(«x(A(x) ®B(x)) Ç ($х(ù А(х) Ç ù В(х))
Продолжить составление других формул.
Задание 6-3.Образовать из предиката В(х)=»Число x кратно 5″ новые предикаты с кванторами и установить их истинность
Задание 6-4.Установить истинностьвысказываний и записать их в виде («xÎX)A(x) или ($xÎX)A(x). Установить истинность полученных высказываний.
1. Любое натуральное число – четное.
2. Существуют действительные числа большие 1000.
3. Не существует рационального числа, квадрат которого равен 2.
4. Квадратное уравнение имеет два корня.
Задание 6-5.На множестве N заданы предикаты Р(Х)=»Число x четное» и Q(x)=»Число x кратно 4″ из которых составлены высказывание с помощью кванторов. «Перевести» их на обычный язык.
1. («xÎN)P(x) 3. ($xÎN) ù Q(x). 6. («xÎN)(P(x) È Q(x)).
2. ($xÎN)Q(x). 4. («xÎN)(P(x)Ç Q(x)). 7. ($xÎN)(P(x) È Q(x)).
3. («xÎN)ù P(x). 5. ($xÎN)(P(x)Ç Q(x)).
Задание 6-6. Построить отрицания высказываний (предикатов с кванторами) используя формулу: $x A(x)=. Проверить справедливость формулы «x A(x)=.
1. Число x нечетное. 3. Некоторые прямоугольники — квадраты
2. Число x кратно 10 4. Существую правильные пирамиды.
Задание 6-7. Приведите общую словесную формулировку правил построения отрицания высказываний с кванторами на основе выполнения задания 6-5.
