Предикаты могут быть поротыми и составными. Составные предикаты образуются из простых предикатов с помощью логических связок по правилам алгебры логики.
Из двух предикатов можно образовать новый предикат, который часто называется высказывательной формой.
Высказывательные формы могут входить в предикат и при этом они называются предикаторами или препозиционными функциями.
Примеры высказывательных форм: 2k, m + n, , m>n+1 и др.
Рассмотрим двуместную высказывательную форму: x ³ y+2. Пусть x определено на множестве Mx={3;5}, y – на множестве My={1;5;8}. Этой форме соответствуют два предиката. Один P1 — задан на множестве, образованным декартовым произведением X1= Mxx My
Другой P2 — задан на множестве, образованным декартовым произведением X2= Myx Mx
Это значит, что двуместной высказывательной форме соответствует два предиката. Чтобы установить взаимно-однозначное соответствие между ними, на установит линейный порядок с помощи отношения «предшествует». Порядок может определять алфавитом и (или) индексами при переменных, располагая их в порядке возрастания.
Тождественно – истинным называется предикат, который принимает истинное значение на всей области определения ( множество истинности совпадает с областью определения)
Тождественно – ложным называется предикат, который принимает ложное значение на всей области определения (множество истинности пустое).
Пусть даны два предиката, определенные на одном множестве. Высказывательные формы Q и Gназовем равносильными,если при любом наборе значений переменных, входящих в них, высказывательные формы принимают одинаковые значения истинности: Q Þ G.
Очевидно, что если Q Þ G, а G Þ Q, то QÞG Тогда T(Q) = T(G), т.е. множества истинности равносильных предикатов также совпадают.
Примеры равносильности высказывательных форм, заданных на множестве R.
В математике нарушение цепочки тождественных преобразований при решении уравнений или неравенств влечет за собой потерю имеющихся или приобретение посторонних корней, т.е. изменение множества истинности исследуемого предиката.
Отношение равносильности высказывательных форм рефлексивно и симметрично.
В том случае, когда одинаковые переменные в каждой из исследуемых форм принимают значения из одного множества, отношение равносильности будет обладать также и свойством транзитивности.
Назовем равносильным преобразованием высказывательной формы ее замену на равносильную форму Q2. Две равносильные высказывательные формы с одинаковым набором переменных, для которых установлен одинаковый порядок, определяют один и тот же предикат.
Эти свойства предиката используются при решении уравнений и неравенств, которые тоже являются некоторыми высказывательными формами. Так, решение любого уравнения или неравенства предусматривает установление множества его истинности, т.е. множества истинности соответствующего ему предиката. В процессе поиска множества истинности производят замену одного предиката другим, равносильным данному, с целью упрощения имеющихся высказывательных форм.
Отношения следования и равносильности для высказывательных форм зависят от того множества, на котором оно рассматривается.
Задание 6-1.Указать область определения и множество значений предикатов:
1. х+1=10
2. Космическое тело x – спутник Солнца.
3. Если число x – делится на 4, то оно делится на 2.
4. Не верно, что елки растут в саду.
5. Некоторые уравнения не имеют решения.
2. Логические операции над предикатами.
Связки, аналогичные связкам булевой алгебры и исчисления высказываний, соответствуют логическим операциям над предикатами.
Логические операции над предикатами аналогичны операциям алгебры логики. Необходимо при этом для каждой операции устанавливать связь между множествами истинности исходных предикатов и множеством истинности предиката, полученного в результате выполнения логической операции.
Пусть даны предикаты, заданные на множестве D, причем предикат
A(X) — имеет множество истинности P
В (Х) — имеет множество истинности Q.
1. Отрицание. К (Х) = ù А (Х). Множество истинности Т= ù P=D\ P – дополнение множества истинности предиката А (Х) до множества D.
2. Конъюнкция предикатов. К (Х)=А (Х) Ç В (Х). Множество истинности Т=РÇQ
Конъюнкция предикатов, например, используется при решении системам уравнений или неравенств, решение которых есть конъюнкция множеств истинности (множеств решений) каждого уравнения или неравенства. При нахождении области определения функции, состоящей из нескольких других функций, также используется конъюнкция предикатов.
3. Дизъюнкция предикатов. S(Х)=А (Х) È В (Х). Множество истинности Т=РÈQ
Дизъюнкция предикатов, например, используется при решении системам уравнений или неравенств, решение которых есть дизъюнкция. множеств истинности (множеств решений) каждого уравнения или неравенства.
4. Импликация предикатов. W(X)= А (Х) ®В (Х). Множество истинности установим на основе алгебры логики: Т=Р®Q = ùPÈQ = D \ P È Q. Множество истинности импликация. двух предикатов есть объединение дополнения множества истинности первого предиката с множеством истинности второго предиката.
Импликация предикатов, например, используется при доказательстве теорем, когда устанавливается множество истинности заключение теоремы (установление класса объектов, для колотых положение доказанное в теореме имеет место)
5. Эквиваленция предикатов. N(X) = А (Х) «В (Х). Множество истинности установим на основе алгебры логики:
Т=Р«Q =(Р®Q) Ç (Q ®P) = (D \ P È Q) Ç(D \ Q È P)=(ù PÈ Q) Ç(ù QÈ P)=
== =D
Множество истинности эквиваленции совпадет с множеством, на котором заданы предикаты. Этот факт можно было бы установить из того, что эквиваленция сама по себе предполагает эквивалентность рассматриваемых предикатов.
6. Логическое следование. Высказывательная форма М2(Х) логически следует из высказывательной формы М1(Х), если импликация М1(Х) ® М2(Х) принимает истинное значении при любых наборах значений переменных, входящих в нее. Обозначается М1(Х) Þ М2(Х). Очевидно, что множество истинности логического следования совпадает с множеством истинности высказывательной формы М1(Х). Причем: Т(М1)ÌТ(М2)
В ряде случаев возможно одновременное логическое следование:
М1(Х) Þ М2(Х) и М2(Х) Þ М1(Х)
При этом возможна запись М1(Х) Û М2(Х), которая говорит о равносильности соответствующих высказывательных форм и предикатов.
