частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, называются условиями однозначности или краевыми условиями.
Условия однозначности включают в себя:
геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в которых протекает процесс;
физические условия, характеризующие физические свойства среды и тела;
временные (начальные) условия, характеризующие распределение температур в изучаемом теле в начальный момент времени;
граничные условия, характеризующие взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей средой.
Геометрическими условиями задаются форма и линейные размеры тела, в котором протекает процесс.
Физическими условиями задаются физические параметры тела (l, с, r и др.) и может быть задан закон распределения внутренних источников теплоты.
Начальные условия необходимы при рассмотрении нестационарных процессов и состоят в задании закона распределения температуры внутри тела в начальный момент времени. В общем случае начальное условие аналитически может быть записано следующим образом (при t = 0):
(2.22)
При равномерном распределении температуры в теле начальное условие упрощается (при t = 0):
(2.23)
Граничные условия могут быть заданы несколькими способами.
Граничные условия первого рода. Задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени:
(2.24)
где tc — температура на поверхности тела; x, y, z — координаты поверхности тела.
В частном случае, когда температура на поверхности является постоянной на протяжении всего времени протекания процессов теплообмена, уравнение (2.24) упрощается и принимает вид:
Граничные условия второго рода. Задаются значения теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени. Аналитически это можно представить следующим образом:
(2.25)
где qп— плотность теплового потока на поверхности тела; х, у, z — как и в случае (2.24) — координаты на поверхности тела.
В простейшем случае плотность теплового потока по поверхности и во времени остается постоянной:
(2.26)
Такой случай теплообмена имеет место, например при нагревании различных металлических изделий в высокотемпературных печах.
Граничные условия третьего рода. При этом задаются температура окружающей среды tж и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Граничное условие третьего рода характеризует закон теплообмена между поверхностью и окружающей средой в процессе охлаждения и нагревания тела. Для описания процесса теплообмена между поверхностью тела и средой используется закон Ньютона — Рихмана.
Процесс теплообмена между поверхностью тела и средой относится к очень сложным процессам и зависит от большого количества параметров.
Согласно закону Ньютона — Рихмана количество теплоты, отдаваемое единицей поверхности тела в единицу времени, пропорционально разности температур поверхности тела tc и окружающей среды tж (tc > tж):
(2.27)
где a — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплоотдачи, Вт/(м2×К), характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Численно он равен количеству теплоты, отдаваемому (или воспринимаемому) единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой, равной одному градусу.
Согласно закону сохранения энергии количество теплоты, которое отводится с единицы поверхности в единицу времени вследствие теплоотдачи [уравнение (2.27)], должно равняться количеству теплоты, подводимому к единице поверхности в единицу времени вследствие теплопроводности из внутренних объемов тела [уравнение (2.10)], т.е.
(2.28)
где п — нормаль к поверхности тела; индекс « с » указывает на то, что температура и градиент относятся к поверхности тела (при п= 0).
Окончательно граничное условие третьего рода можно записать в виде
(2.29)
Уравнение (2.29) по существу является частным выражением закона сохранения энергии для поверхности тела.
Коэффициент теплоотдачи зависит от большого числа факторов. Однако во многих случаях коэффициент теплоотдачи можно считать неизменным, поэтому в дальнейшем при решении задач теплопроводности будем принимать величину aпостоянной.
В связи с расширением и усложнением технических задач встречаются случаи, когда ни одно из перечисленных граничных условий задать невозможно, и тогда для определения теплового взаимодействия между телами или твердого тела с окружающей средой приходится решать сопряженную задачу. При решении таких задач должны выполняться условия равенства температур и тепловых потоков по обе стороны от границы раздела. В общем случае условия сопряженности можно записать:
(2.30)
где qv(xг, yг, zг, t)—источники теплоты на поверхности границы; t1, t2, l1, l2 — соответственно температуры и коэффициенты теплопроводности соприкасающихся сред; xг, уг, zг — координаты поверхности раздела сред. При отсутствии на границе раздела сред процессов с выделением или поглощением теплоты условия сопряженности (2.30) принимают вид:
(2.31)
Из (2.31) следует, что решение сопряженной задачи связано с нахождением температурных полей по обе стороны границы раздела.
(2.22)
(2.23)
(2.24)
(2.25)
(2.26)
(2.27)
(2.28)
(2.29)
(2.31)