Теплопроводность при стационарном режиме.

При установившемся, или стационарном, тепловом режиме температура тела во времени остается постоянной, т.е. ¶t/¶t = 0. При этом дифференциальное уравнение теплопроводности будет иметь вид:

(3.1)

или

(3.2)

Если внутренние источники теплоты отсутствуют, то уравнение (3.1) упростится и примет вид:

(3.3)

или

(3.4)

Рассмотрим передачу теплоты через плоскую стенку при q_v = 0.

Граничные условия первого рода. Рассмотрим однородную и изотропную стенку толщиной d с постоянным коэффициентом теплопроводности l. На наружных поверхностях стенки поддерживают постоянными температуры t_c1 и t_c2.

При заданных условиях температура будет изменяться только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки. Если ось Ох направить, как показано на рис. 3.1, то температура в направлении осей Оу и Оz будет оставаться постоянной:

Рис. 3.1. Однородная плоская стенка

В связи с этим температура будет функцией только одной координаты х и дифференциальное уравнение теплопроводности для рассматриваемого случая запишется в виде

(3.3)

Граничные условия в рассматриваемой задаче зададим следующим образом:

при х = 0 t = t_c1;

при x = d t = t_с2. (3.4)

Уравнение (3.3) и условия (3.4) дают полную математическую формулировку рассматриваемой задачи.

В результате решения поставленной задачи должно быть найдено распределение температуры в плоской стенке, т.е. t = f(х), и получена формула для определения плотности теплового потока.

Закон распределения температур по толщине стенки найдется в результате двойного интегрирования уравнения (3.3).

Первое интегрирование дает:

(3.5)

После второго интегрирования получим:

(3.6)

Из уравнения (3.6) следует, что при постоянном коэффициенте теплопроводности температура в стенке изменяется по линейному закону.

Постоянные С₁и С₂ в уравнении (3.6) определяются из граничных условий:

при х = 0 t = t_c1 и C₂ = t_c1;

при x = d t = t_с2 и

Подставляя значения постоянных С₁ и С₂ в уравнение (3.6), получаем закон распределения температуры в рассматриваемой плоской стенке:

(3.7)

Если отсчет избыточной температуры в стенке вести от наименьшей заданной температуры t_c2, то уравнение (3.7) можно привести к безразмерному виду.

Обозначим Dt = t - t_c2 — текущий температурный напор илиизбыточная температура; Dt₀ = t_с1 - t_c2 — полный температурный напор или наибольшая избыточная температура.

После введения этих обозначений уравнение (3.7) запишется следующим образом:

(3.8)

или

Обозначим Dt/Dt₀ = q — безразмерный температурный напор или безразмерная избыточная температура; х/d = X — безразмерная координата; получим:

(3.8)

Уравнение температурного поля (3.8)является универсальным. Его универсальность заключается в том, что распределение температуры в стенке можно представить единой прямой в отрезках на осях для любого заданного значения t_c1, t_c2 и d (рис. 3.2). В ряде случаев пользоваться безразмерными уравнениями весьма удобно.

Рис.3.2. Безразмерное поле температур в плоской стенке

Для определения количества теплоты, проходящего через единицу поверхности стенки в единицу времени в направлении оси Оx воспользуемся законом Фурье, согласно которому Учитывая, что , после подстановки значения в выражение закона Фурье, получаем:

(3.9)

количество теплоты, проходящее через единицу поверхности стенки в единицу времени, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности l, разности температур на наружных поверхностях стенки t_с1 - t_c2 и обратно пропорционально толщине стенки d.

Зная плотность теплового потока, легко вычислить общее количество теплоты Q_t , которое передается через поверхность стенки F за промежуток времени t:

(3.10)

Из уравнения (3.9) найдем:

После введения этого выражения в уравнение температурного поля (3.7) получим:

(3.11)

Из уравнения (3.11) следует, что при прочих равных условиях температура в стенке убывает тем быстрее, чем больше плотность теплового потока.

Выражения (3.7) и (3.9) получены в предположении, что l = const. В действительности l является переменной величиной.

Рассмотрим случай, когда коэффициент теплопроводности является только функцией температуры:

Для многих материалов зависимость коэффициента теплопроводности от температуры близка к линейной:

где l₀ — значение коэффициента теплопроводности при 0 °С. На основании закона Фурье

(3.12)

Разделяя переменные и интегрируя выражение (3.12) в пределах от х = 0 до х = d в интервале температур от t_с1 до t_c2 , получаем:

(3.13)

В выражении (3.13) множитель является среднеинтегральным значением коэффициента теплопроводности, т.е.

(3.14)

При этом плотность теплового потока q, Вт/м², на поверхности пластины

(3.15)

Из уравнения (3.15) следует, что если коэффициент теплопроводности l зависит от температуры, то q можно вычислять в предположении, что l = const, принимая для него среднеинтегральное значение в интервале температур от t_с1 до t_c2.

Иытегрируя выражение (3.12) в пределах от x = 0 до любой текущей координаты х и в интервале температур от t_с1 до t_c2,получаем выражение для температурного поля:

(3.16)

Из этого уравнения следует, что температура в стенке изменяется не линейно, а по кривой. Характер температурной кривой определяется знаком и числовым значением коэффициента b.