Дифференциальное уравнение теплопроводности

Рис. 2.1. К выводу дифференциального уравнения теплопроводности

При решении задач, связанных с нахождением температурного поля, необходимо иметь дифференциальное уравнение теплопроводности.

Для облегчения вывода этого дифференциального уравнения сделаём следующие допущения:

тело однородно и изотропно; физические параметры постоянны;

деформация рассматриваемого объема, связанная с изменением температуры, очень мала по сравнению с самим объемом;

внутренние источники теплоты в теле, которые в общем случае могут быть заданы как , распределены равномерно.

В основу вывода дифференциального уравнения теплопроводности положен закон сохранения энергии,

где dQ₁ — количество теплоты, Дж, введенное в элементарный объем путем теплопроводности за время dt; dQ₂ — количество теплоты, которое за время dt выделилось в элементарном рбъеме dv за счет внутренних источников; dQ — изменение внутренней энергии или энтальпии вещества, содержащегося в элементарном объеме dv, за время dt.

Для нахождения составляющих уравнения (2.1) выделим в теле элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz (рис. 2.1). Количество теплоты, которое подводится к граням элементарного объема за время dt в направлении осей Ох, Оу, Оz обозначим соответственно dQ_x , dQ_y, dQ_z.

Количество теплоты, которое будет отводиться черёз противоположные грани в тех же направлениях, обозначим соответственно dQ_x+dx, dQ_y+dy, dQ_z+dz. Количество теплоты, подведенное к грани dy dz в направлении оси Оx за время dt; составляет ,где q_x — проекция плотности теплового потока на направление нормали к указанной грани. Количество теплоты, отведенное через противоположную грань элементарного параллелепипеда в направлении оси Ох, запишется как

Разница между количеством теплоты, подведенного к элементарному параллелепипеду и количеством теплоты отведенного от него за время dt в напрвлении оси Оx,представляет собой количество теплоты

или

Функция q_x+dx является непрерывной в рассматриваемом интервале dx и может быть разложена в ряд Тейлора:

(2.2)

Если ограничиться двумя первыми членами ряда, то уравнение (2.2) запишется в виде

(2.3)

Количество теплоты dQ, подведенное в результате теплопроводности к рассматриваемому объему, будет равно

(2.4)

Определим вторую составляющую уравнения (2.1). Обозначим количество теплоты, выделяемое внутренними источниками в единице объема среды в единицу времени и называемое мощностью внутренних источников теплоты, через q_v, Вт/м³, тогда

(2.5)

Третья составляющая в уравнении (2.1) найдется в зависимости от характера термодинамического процесса изменения системы.

При рассмотрении изохорного процесса вся теплота, подведенная к элементарному объему, уйдет на изменения внутренней энергии вещества, заключенного в этом объеме, т.е. dQ = dU.

Если рассматривать внутреннюю энергию единицы объема и = и(t, v), тогда dU найдется как

(2.6)

где С_v – изохорная теплоемкость единицы объема, Дж/(м³×К); с_v — изохорная теплоемкость единицы массы, Дж/(кг×К); r — плотность вещества, кг/м³.

Подставляя полученные выражения (2.4), (2.5) и (2.6) в уравнение (2.1), получаем:

(2.7)

или

(2.8)

Выражение (2.7) является дифференциальным уравнением энергии для изохорного процесса переноса теплоты.

При рассмотрении изобарного процесса вся теплота, подведенная к объему, уйдет на изменение энтальпии вещества, заключенного в этом объеме, и уравнение (2.1) запишется следующим образом:

(2.9)

Если рассматривать энтальпию единицы объема как h = h(t, p), то можно показать, что

(2.10)

где С_p — изобарная теплоемкость единицы объема, Дж/(м³×К); с_р — изобарная теплоемкость единицы массы, Дж/(кг×К).

Если полученные выражения (2.4), (2.5) и (2.10) подставить в уравнение (2.9), получим:

(2.11)

или

(2.12)

Соотношение (2.11) является дифференциальным уравнением энергии в самом общем виде для изобарного процесса переноса теплоты.

В твердых телах перенос теплоты осуществляется по закону Фурье

Значение разности с_р и с_v мало и можно принять с_v = с_р= с.

Напомним, что проекции вектора плотности теплового потока на координатные оси Ох, Оу, Оz определяются выражениями:

Подставляя полученные выражения проекций вектора плотности теплового потока в уравнение (2.7) и опуская индекс при с, получаем:

(2.13)

или

(2.14)

Выражение (2.13), так же как и (2.14), называется дифференциальным уравнением теплопроводности. Оно устанавливает связь между временным и пространственным изменениями температуры в любой точке тела, в котором происходит процесс теплопроводности.

Наиболее общее дифференциальное уравнение теплопроводности в частных производных имеет ту же форму, что и (2.13), но с переменными теплофизическими характеристиками l, с и р, которые можно обозначить как l(х, у, z, t), с(х, у, z, t)и р(х, у, z, t). Такая запись включает как пространственно-временную, так и температурную зависимость. Так, если принять теплофизические характеристики постоянными, что предполагалось при выводе уравнения, то (2.13) принимает вид:

(2.15)

В уравнении (2.15) можно обозначить

(2.16)

и (2.17)

где — выражение оператора Лапласа в декартовой системе координат.

С учетом введенных обозначений уравнение (2.15) запишется следующим образом:

(2.18)

Коэффициент пропорциональности а, м²/с, в уравнении (2.18) называется коэффициентом температуропроводности и является физическим параметром вещества. Коэффициент температуропроводности зависит от природы вещества.. Далее, если система тел не содержит внутренних источников теплоты (q_v = 0), тогда выражение (2.18) принимает форму уравнения Фурье:

(2.19)

Если имеются внутренние источники теплоты, но температурное поле соответствует стационарному состоянию, т.е. t = t(x, y, z), то дифференциальное уравнение теплопроводности превращается в уравнение Пуассона:

(2.20)

Наконец, при стационарной теплопроводности и отсутствии внутренних источников теплоты выражение (2.17) принимает вид уравнения Лапласа:

(2.21)