Некоторые частные формы нахождения интегралов,содержащих тригонометрические функции.

Для интегрирования рациональных функций вида применяют подстановку , которая называется универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда К сожалению, универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к большим вычислениям. Поэтому, по возможности, пользуются следующими подстановками. Если R(-sin(x),cosx) = -R(sin(x),cosx), то делают замену cos(x) = t и тогда sin(x)dx = -dt. При R(sin(x),-cosx) = - R(sin(x),cosx), полагают sin(x)=t при этом cos(x)dx=dt, а в случае R(-sin(x),-cosx) = R(sin(x),cosx) делают замену tg(x)=t, при которой x=arctg(t), , или замену ctg(x)=t, если это удобнее.

ПРИМЕРЫ
1. Вычислить интеграл .
Делаем замену cos(x)=t. Тогда

2. Вычислить интеграл .
Делая замену sin x=t, получаем

3. Найти интеграл .
Делаем замену tg(x)=t Подставляя, получаем

Заметим, что замена ctg(x)=t здесь удобнее, так как тогда , и

поэтому

Интегрирование выражений вида

ПРИМЕР №1. Вычислить интегралы:

Решение, а). Интегрирование выражений вида , где R — рациональная функция от sin x и cos x, преобразуются в интегралы от ра­циональных функций с помощью универсальной тригонометрической подста­новки tg(x/2) = t. Тогда имеем

Универсальная тригонометрическая подстановка дает возможность перей­ти от интеграла вида к интегралу от дробно-рациональной функции, но часто такая замена ведет к громоздким выражениям. При определенных условиях эффективными оказываются более простые подстановки:

· Если выполняется равенство R(-sin x, cos x) = -R(sin x, cos x), то применяется подстановка cos x = t.

· Если выполняется равенство R(sin x, -cos x) = -R(sin x, cos x), то подстановка sin x = t.

· Если выполняется равенство R(-sin x, -cos x) = R(sin x, cos x)dx, то подстановка tgx = t или ctg x = t.

В данном случае для нахождения интеграла ; применим универсальную тригонометрическую подстановку tg(x/2) = t.
Тогда Так как дробь неправильная, то, выделяя целую часть, получим Возвращась к исходной переменной будем иметь

b). Во втором примере рассмотрим важный частный случай, когда общее выражение

имеет вид В этом частном случае если m нечетно, следует применить подстановку cos x = t. Если нечет­но п, следует применить подстановку sin x = t. Если оба показателя тип — четные неотрицательные числа (в частности, одно из них может быть равным нулю), то выполняют замену по известным тригонометрическим формулам:

В данном случае

Ответ: