Циркуляция вектора. Формулировка теоремы

Использование силовой характеристики магнитного поля вектора магнитной индукции будет плодотворным, если мы отработаем приёмы её расчёта по известному распределению электрических токов (движущихся зарядов) в пространстве. Как и случае электростатики уместно говорить о «первом» прямом («лобовом») способе, опирающемся непосредственно на принцип суперпозиции магнитных полей и закон Био-Саварра-Лапласа. Мы проиллюстрировали этот способ в §15 на примере магнитного поля бесконечно длинного прямолинейного проводника с током. Такой способ применим всегда, но зачастую влечёт за собой серьёзные практические трудности. Аналогично случаю электростатики в магнитостатике формулируют теорему-следствие из вышеназванных фундаментальных знаний. Как раз она и называется «теоремой о циркуляции вектора » и её применение позволяет существенно упростить решение задач о нахождении магнитного поля, порождённого проводниками (проводящими средами) с плоской, цилиндрической и сферической симметрией переноса заряда. Она может служить основой «второго» («обходного») способа расчёта вектора магнитной индукции применимого, однако, лишь в частных случаях (зато весьма практически значимых!) распределения электрических токов в пространстве, обладающих той или иной симметрией или сводящимся к ним. Введём, прежде всего, само понятие «циркуляции» для векторного поля на примере поля магнитостатического.

Циркуляцией вектора (например, ) по замкнутому контуру C называется криволинейный интеграл вида . Под знаком интеграла – скалярное произведение векторов и , скалярная величина. Её можно записать также в виде произведения проекции вектора на направление вектора элементарного (очень малого) перемещения вдоль замкнутой кривой «C». Поэтому написать можно и в такой эквивалентной форме , которой мы и будем чаще пользоваться в дальнейшем. Напомним, что такой интеграл это просто сумма (точнее предел последовательности сумм) большого числа таких произведений при разбиении всей кривой «C» на большое число малых участков.

Вот теперь сформулируем теорему.

Циркуляциявектора индукции магнитостатического поляпо любому замкнутому контуру C в вакууме пропорциональна алгебраической сумме сил токов, пронизывающих поверхность, ограниченную этим контуром:

. (8.1)

Коэффициент пропорциональности в системе единиц СИ равен магнитной постоянной m₀. В том случае, когда через поверхность S, ограниченную контуром C протекают распределённые токи, в правой части вместо суммы следует записать поверхностный интеграл вида:

.

Этот интеграл, как нетрудно догадаться по опыту работы с электростатическим полем, имеет смысл потока вектора плотности тока через поверхность S, ограниченной контуром C – предполагается, что именно через неё и переносится заряд!