Доказательство теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции

Как и при доказательстве теоремы Гаусса в электростатике проведём его по шагам, двигаясь от простого к сложному.

a) Рассмотрим сначала простейший случай – постоянный ток протекает по бесконечно длинному прямолинейному тонкому проводнику. Контур С – окружность, располагающаяся в плоскости, перпендикулярной проводнику, проходящему через её центр – см. рис. 8.1.

Очевидно, прежде всего, что контур С совпадает с одной из линий индукции магнитного поля проводника. Отсюда ясно, что под знак интеграла при расчёте циркуляции попадают просто произведения B(r)dl (на любом малом участке контура направления векторов и совпадают!). Всилу осевой симметрии модуль вектора зависит только от расстояния до проводника и постоянен на окружности радиуса r, а потому его можно вынести за знак интеграла. Получаем:

. (*)

Здесь учтено, что оставшийся интеграл , равен по математическому определению длине контура С, т.е. длине окружности 2pr. Индукция магнитного поля бесконечно длинного прямолинейного проводника на расстоянии от него равна, как мы уже знаем (результат применения закона Био-Саварра-Лапласа и принципа суперпозиции) . Подставим это в правую часть соотношения (*) и придём к результату для циркуляции:

,

что как раз и совпадает с утверждением теоремы.

б) Несколько усложним ситуацию – пусть контур С по-прежнему лежит в плоскости перепендикулярной проводнику, охватывает проводник, но на этот раз имеет произвольную форму (рис. 8.2,а). Запишем сначала цепочку очевидных «по геометрическим соображениям» равенств:

и подставим сюда, как и в первом случае, значение модуля вектора индукции магнитного поля прямолинейного проводника . В итоге получим подинтегральное выражение для вычисления циркуляции: . Теперь посчитать циркуляцию становится очень просто – ведь переменной величиной является только угол поворота a радиус вектора при обходе контура С. Получаем:

,

что опять-таки соответствует утверждению теоремы.

в) Пусть теперь контур С проводник проходит вне контура. Контур придётся разбить теперь на две составляющие и при вычислении интеграла двигаться сначала от точки 1 к точке 2 по более удалённой его части, а затем от точки 2 к точке 1 возвращаться по более близкой (см. рис. рис. 8.2,б). При этом интеграл разбивается на две части. Для участка 1–2 угол между векторами и острый и знак их скалярного произведения положителен. Напротив для участка 2–1 угол между векторами и тупой и знак произведения противоположен. В итоге получаем:

Это означает, что токи лежащие вне поверхности ограниченной контуром (не «пронзающие» эту поверхность) вкдада в циркуляцию не дают.

г) Нам остаётся провести лишь несложные обобщения на случаи – контур не является плоским (нетрудно сообразить, что попутно снимаются ограничения и на условие прямолинейности самого проводника) (рис. 8.3); самих проводников с током несколько (много) – рис. 8.4. Все малые элементы произвольного контура можно представить как сумму компонент ледащих в плоскости перпендикулярной проводнику ( ) и параллельных ему ( _çç). Хотя при обходе замкнутого контура С в общем случае происходит не только поворот соотверствующего радиус-вектора (da), но и смещение параллельно проводнику подинтегральное выражение изменяется ровно так же как и в случае плоского контура на величину

Все расчёты аналогичные пунктам б) и в) приведут нас к тем же самым результатам – m₀×I_k, для проводников «охваченных» контуром и 0 для «не охваченных».

д) Последний шаг доказательства теоремы требует обобщения на случай присутствия произвольного количества проводников с током. Мы лишь приведём соответствующий рисунок (см. рис. 8.3) и скажем, что результат очевиден с учётом принципа суперпозиции магнитных полей. То же относится и к вопросу о любом переносе заряда через поверхность, ограниченную контуром, только сумму дискретных величин придётся заменить интегралом хорошо знакомого вида (поток!).

Теорема доказана!