Принцип суперпозиции для потоков

Пусть поток вектора напряжённости (для краткости просто «поток») через некоторую поверхность S создаёт система N точечных зарядов q_i (заряженных частиц): q₁, q₂,..., q_i,..., q_N. Покажем, что полный поток F равен в этом случае алгебраической сумме потоков F_i, создаваемых каждой частицей в отдельности*).

Полный поток для поля всех заряженных частиц можно вычислить так:

Напряжённость в месте расположения каждого из малых элементов поверхности S**), по которым ведётся интегрирование (суммирование!) может быть записана как сумма напряжённостей от каждого из N зарядов-источников поля по принципу суперпозиции напряжённостей:

,

т.е. сумме проекций напряжённостей полей от каждого из зарядов в данной точке поверхности. Поменяем теперь местами операции интегрирования и суммирования:

.

Но ведь величина в квадратных скобках – это не что иное, как поток вектора напряжённости поля, создаваемого каждым из N зарядов через поверхность S, т.е. F_i. Мы приходим к важному выводу, что поток вектора напряжённости поля системы зарядов равен алгебраической сумме потоков каждого из зарядов по отдельности:

. (2.3)

Это и требовалось доказать. Мы также используем это утверждение при обосновании теоремы Гаусса.

3*. Понятие потока используется при описании электрического, магнитного и других векторных полей. Мы уже встречались с этим понятием в разделе «гидродинамика» (обозначение Q, правда, использовалось традиционно иное, чем обычно в электромагнетизме) – вспомните формулу Пуазейля. Именно в гидродинамике это понятие и появилось впервые, имея при этом весьма прозрачный физический смысл. Ведь просуммированное по поверхности поперечного сечения трубы произведение v_n·dS даёт объём жидкости (или газа) переносимой через это сечение трубы в единицу времени:

, (2.4)

Это и есть «поток» векторного стационарного поля скоростей элементов жидкости .

Как видим, для потока других векторных полей (электрического F_E, магнитного F_B) математическая конструкция сохраняется с точностью до иных обозначений. Они определяют важные свойства этих полей. Название сохранено, однако никакого переноса вещества в пространстве уже не происходит.